증명

---

두 선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$, $\mathrm{C}\mathrm{D}$에 대하여, 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{B}$와 세 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{D}$가 평행한 세 평면 $\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{G}\mathrm{H}$, $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{K}\mathrm{L}$, $\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{M}\mathrm{N}$ 위에 각각 있다.

그러면, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}:\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}:\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$인 것을 보이자.

---

세 직선 $\mathrm{A}\mathrm{C}$, $\mathrm{B}\mathrm{D}$, $\mathrm{A}\mathrm{D}$를 그리자. 직선 $\mathrm{A}\mathrm{D}$와 평면 $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{K}\mathrm{L}$와 교점을 $\mathrm{O}$라 하자. 두 선분 $\mathrm{E}\mathrm{O}$, $\mathrm{F}\mathrm{O}$를 그리자.

그러면 평행한 두 평면 $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{K}\mathrm{L}$, $\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{M}\mathrm{N}$을 평면 $\mathrm{E}\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{O}$가 자르기 때문에 그들 각각의 두 교선 $\mathrm{E}\mathrm{O}$, $\mathrm{B}\mathrm{D}$는 평행하다. [XI권 명제 16] 같은 이유로 평행한 두 평면 $\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{G}\mathrm{H}$, $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{L}\mathrm{K}$을 평면 $\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{O}$가 자르기 때문에 그들 각각 두 교선 $\mathrm{A}\mathrm{C}$, $\mathrm{O}\mathrm{F}$는 평행하다. [XI권 명제 16]

그리고 선분 $\mathrm{E}\mathrm{O}$는 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D}$의 한 변인 선분 $\mathrm{B}\mathrm{C}$와 평행하기 때문에 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}:\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{O}}:\overline{\mathrm{O}\mathrm{D}}$이다. [VI권 명제 2] 그리고 다시 선분 $\mathrm{F}\mathrm{O}$는 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}$의 한 변인 선분 $\mathrm{A}\mathrm{C}$와 평행하기 때문에 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{O}}:\overline{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}:\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$이다. [VI권 명제 2]

그런데 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{O}}:\overline{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}:\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$이므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}:\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}:\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$이다.

---

그러므로 평행한 평면들이 두 직선을 자르면, 그들의 잘린 선분들의 길이의 비율은 같다.

Q.E.D.