증명

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두 선분 \(\rm AB\), \(\rm CD\)에 대하여, 세 점 \(\rm A\), \(\rm E\), \(\rm B\)와 세 점 \(\rm C\), \(\rm F\), \(\rm D\)가 평행한 세 평면 \(\rm ACGH\), \(\rm EFKL\), \(\rm BDMN\) 위에 각각 있다.

그러면, \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)인 것을 보이자.

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세 직선 \(\rm AC\), \(\rm BD\), \(\rm AD\)를 그리자. 직선 \(\rm AD\)와 평면 \(\rm EFKL\)와 교점을 \(\rm O\)라 하자. 두 선분 \(\rm EO\), \(\rm FO\)를 그리자.

그러면 평행한 두 평면 \(\rm EFKL\), \(\rm BDMN\)을 평면 \(\rm EBDO\)가 자르기 때문에 그들 각각의 두 교선 \(\rm EO\), \(\rm BD\)는 평행하다. [XI권 명제 16] 같은 이유로 평행한 두 평면 \(\rm ACGH\), \(\rm EFLK\)을 평면 \(\rm ACFO\)가 자르기 때문에 그들 각각 두 교선 \(\rm AC\), \(\rm OF\)는 평행하다. [XI권 명제 16]

그리고 선분 \(\rm EO\)는 삼각형 \(\rm ABD\)의 한 변인 선분 \(\rm BC\)와 평행하기 때문에 \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm AO}:\overline{\rm OD}\)이다. [VI권 명제 2] 그리고 다시 선분 \(\rm FO\)는 삼각형 \(\rm ADC\)의 한 변인 선분 \(\rm AC\)와 평행하기 때문에 \(\overline{\rm AO}:\overline{\rm OD}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이다. [VI권 명제 2]

그런데 \(\overline{\rm AO}:\overline{\rm OD}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}\)이므로 \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이다.

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그러므로 평행한 평면들이 두 직선을 자르면, 그들의 잘린 선분들의 길이의 비율은 같다.

Q.E.D.