증명

---

세 선분의 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)라고 하고, \(a:b=b:c\) (즉,\(ac=b^2\))를 만족한다고 하자.

그러면, 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)인 세 선분으로 만든 평행면 입체의 부피는 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)인 세 선분으로 만든 평행육면체의 세 입체각과 같고 한 변의 길이가 b인 선분 세 개로 만든 평행육면체 부피와 같다는 것이자.

점 \(\rm E\)에서 세 각이 \(\rm\angle DEG\), \(\rm\angle GEF\), \(\rm\angle FED\)인 입체각을 작도하고, 세 선분 \(\rm ED\), \(\rm EG\), \(\rm EF\)는 \(\overline{\rm ED}=\overline{\rm EG}=\overline{\rm EF}=b\)가 되도록 그리자. [I권 명제 3] 입체도형 \(\rm EDBF-GCKA\)를 작도하자. \(\overline{\rm LM}=a\)인 선분 \(\rm LM\)의 한 끝 점 \(\rm L\)에서 점 \(\rm E\)에 있는 입체각과 같은 입체각을 만들자. 즉, 다시 말해 \(\rm\angle NLO=\angle DEF\), \(\rm\angle OLM=\angle GEF\), \(\rm\angle MLN=\angle FED\)이고 \(\overline{\rm OL}=b\), \(\overline{\rm LN}=c\)이 되도록 작도하여라.

\(a:b=b:c\)이고, \(a=\overline{\rm LM}\), \(b=\overline{\rm LO}=\overline{\rm ED}\), \(c=\overline{\rm LN}\)이므로 \(\overline{\rm LM}:\overline{\rm LO}=\overline{\rm LO}:\overline{\rm LN}\)이다. 두 각 \(\rm NLM\)과 각 \(\rm DEF\)를 끼고 있는 변들이 을 만족하므로 (평행사변형 \(\rm MLNI\) 넓이) \(=ac=b^2=\)(평행사변형 \(\rm DBFE\) 넓이)이다. [6권 명제 4]

그리고, \(\rm\angle MLN=\angle FED\)인 두 각 \(\rm DEF\), \(\rm NLM\)은 선분으로 만들어진 평면각이고 이들 각의 중심점에서 평면각을 포함하는 평면 위에 있지 않은 두 선분 \(\rm LO\), \(\rm EF\)를 작도하였다. 그리고 \(\rm\angle NLO =\angle DEG\)와 \(\rm\angle MLO=\angle FEG\)이고, \(a=\overline{\rm LM}\), \(b=\overline{\rm LO}\), \(c=\overline{\rm LN}\)이다. 따라서 점 \(\rm O\)에서 선분 \(\rm NL\), \(\rm LM\)을 포함한 평면에 수직이 되도록 그린 선분과 점 \(\rm G\)에서 선분 \(\rm DE\)와 \(\rm EF\)를 포함한 평면에 수직이 되도록 그은 선분은 그 길이가 같다. 즉, 한 점에서 평면까지의 거리가 같다. [11권 정리 35 보조정리] 그러므로 (입체도형 \(\rm LNIM-OJHP\)의 높이)\(=\) (입체도형 \(\rm EDBF-GCKA\) 높이)이다.

그런데 밑면의 넓이가 가고 높이가 같은 두 평행육면체 부피는 같다. [XI권 명제 31]

그러므로 (입체도형 \(\rm LNIM-OJHP\) 부피) \(=\) (평행사변형 \(\rm OPML\) 넓이) \(\times\) (입체도형 \(\rm LNIM-OJHP\) 높이)

\(=\) (평행사변형 \(\rm DBFE\) 넓이) \(\times\) (입체도형 \(\rm EDBF-GCKA\) 높이) \(=\) (입체도형 \(\rm EDBF-GCKA\) 부피)

이다. 따라서 (입체도형 \(\rm LNIM-OJHP\) 부피) \(=\) (입체도형 \(\rm EDBF-GCKA\) 부피)이다.

그리고 입체도형 \(\rm LNIM-OJHP\)는 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)인 세 선분으로 작도하였고, 입체도형 \(\rm EDBF-GCKA\)은 길이가 \(b\)인 세 선분으로 작도하였다. 그러므로 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)인 세 선분으로 만든 평행면 입체의 부피는 길이가 \(a\), \(b\), \(c\)인 세 선분으로 만든 평행육면체의 세 입체각과 같고 한 변의 길이가 \(b\)인 선분 세 개로 만든 평행육면체 부피와 같다.

그러므로 세 선분들이 서로 비례한다고 하자. 그러면 세 선분들을 변으로 하는 평행육면체의 부피는 세 선분들이 길이로 만든 평행육면체의 세 입체각과 같고 두 번째 길이로 세 변으로 만든 평행육면체의 부피와 같다.

Q.E.D.