증명

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세 직선 \(\rm BC\), \(\rm BD\), \(\rm BE\)는 한 점 \(\rm B\)에서 만나고 세 직선에 모두 수직인 직선 \(\rm AB\)가 있다.

그러면, 세 직선 \(\rm BC\), \(\rm BD\), \(\rm DE\)는 한 평면 위에 있음을 보이자.

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세 직선 \(\rm BC\), \(\rm BD\), \(\rm BE\)가 한 평면 위에 있지 않다고 하자. 일관성을 잃지 않고 두 직선 \(\rm BD\), \(\rm BE\)가 한 평면 \(\rm BDE\) 위에 있고, 직선 \(\rm BC\)가 평면 \(\rm BDE\) 위에 있지 않고 한 점 \(\rm B\)와 교점을 갖는다고 가정하자. 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 포함하는 평면 \(\rm ABC\)를 작도하자.

두 평면 \(\rm ABC\), \(\rm BDE\)의 공통부분은 직선이다. [XI권 명제 3] 이 직선을 \(\rm BF\)라 하자. 그러면 세 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm BF\)는 한 평면 \(\rm ABC\) 위에 있다. 즉, 직선 는 두 직선 , 를 포함하는 평면 위에 있다.

직선 \(\rm AB\)는 두 직선 \(\rm BD\), \(\rm BE\)와 수직으로 만난다. 그러므로 직선 \(\rm AB\)는 역시 두 직선 \(\rm BD\), \(\rm BE\)를 포함하는 평면과 수직이다. [XI권 명제 4]

그러나 두 직선 \(\rm BD\), \(\rm BE\)를 포함하는 평면은 평면 \(\rm BDE\)이므로 직선 \(\rm AB\)는 평면 \(\rm BDE\)와 수직이다

그런데 직선 \(\rm AB\)는 평면 \(\rm BDE\) 위의 점 \(\rm B\)를 지나며 평면 위에 있는 모든 직선과 수직이다. [XI권 정의 3]

그런데 직선 \(\rm BF\)는 평면 \(\rm BDE\) 위에 있고 직선 \(\rm AB\)와 한 점 \(\rm B\)에서 만난다. 그러므로 \(\rm\angle ABF=90^\circ\)이다. 그리고 가정에서 \(\rm\angle ABC=90^\circ\)이므로 \(\rm\angle ABF=\angle ABC\)이고 그리고 한 평면 위에 있다. 이것은 불가능하다.

따라서 직선 \(\rm BC\)는 평면 \(\rm BDE\)와 한 점 \(\rm B\)와 교점을 가질 수 없다. 그러므로 세 직선 \(\rm BC\), \(\rm BD\), \(\rm BE\)는 한 평면 위에 있다.

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그러므로 세 직선이 한 점에서 만나고 이 교점에서 세 직선에 모두 수직인 직선이 있으면, 세 직선은 한 평면 위에 있다.

Q.E.D.