XI 권
명제
두 직선이 어떤 직선에 평행하면 그 직선이 두 직선을 포함하는 평면 위에 있지 않아도 두 직선은 평행하다.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 직선 \(\rm EF\)와 평행하면, 직선 \(\rm EF\)가 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)를 포함하는 평면 위에 있지 않아도 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 평행하다.
두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)가 직선 \(\rm EF\)와 평행하다.
그러면, 직선 \(\rm EF\)가 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)를 포함하는 평면 위에 있지 않아도 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 평행하다는 것을 보이자.
직선 \(\rm EF\)에서 임의의 점 \(\rm G\)를 잡자. 점 \(\rm G\)에서 직선 \(\rm EF\)에 수직이면서 두 직선 \(\rm EF\), \(\rm AB\)를 포함하는 평면 위에 직선 \(\rm GH\)를 그리자. 그리고 점 \(\rm G\)에서 직선 \(\rm EF\)에 수직이면서 \(\rm EF\), \(\rm CD\)를 포함하는 평면 위에 직선 \(\rm GK\)를 그리자. [I권 명제 11]
따라서 직선 \(\rm EF\)가 두 직선 \(\rm GH\), \(\rm GK\)와 각각 수직이기 때문에 직선 \(\rm EF\)는 두 직선 \(\rm GH\), \(\rm GK\)를 포함하는 평면과 수직이다. [XI권 명제 4]
그리고 직선 \(\rm EF\)는 직선 \(\rm AB\)와 평해하므로 직선 \(\rm AB\)도 두 직선 \(\rm GH\), \(\rm GK\)를 포함하는 평면에도 수직이다. [XI권 명제 8]
같은 이유로, 직선 \(\rm CD\) 역시 두 직선 \(\rm GH\), \(\rm GK\)를 포함하는 평면과 수직이다.
그런데 두 직선이 모두 한 평명과 수직이면 그 두 직선은 평행하다. [XI권 명제6] 따라서 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)는 평행하다.
그러므로, 두 직선이 어떤 직선에 평행하면 그 직선이 두 직선을 포함하는 평면 위에 있지 않아도 두 직선은 평행하다.
Q.E.D.
이 명제는 I권 명제 30에 대한 3차원 유사한 명제라는 점에 유의하자.
꼭짓점 네 개가 평면에 있을 수도 있고 없을 수도 있는 사각형 \(\rm ABCD\)를 생각해 보자. 네 점 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\), \(\rm H\)를 각각 변 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm CD\), \(\rm DA\)의 중점이라고 하자. 그 다음 사각형 \(\rm EFGH\)는 평면에 위치하며, 바리뇽 평행사변형(Varignon paralogram)이라고 불리는 평행사변형이다. 바리뇽(Varignon)(1654–1722)은 평면의 사각형 넓이가 이 평행사변형 넓이의 두 배라는 것을 증명하였다.
사각형 \(\rm EFGH\)가 평행사변형이라는 증거는 두 선분 \(\rm EF\)와 \(\rm HG\)가 모두 선분 \(\rm AC\)에 평행하고 두 선분 \(\rm FG\)와 \(\rm EH\) 모두 선분 \(\rm BD\)에 평행하다는 것을 쉽게 증명할 수 있기 때문에 옆면이 평행하다는 것을 보여주기 위해 이 [X권 명제 9]에 의존한다.
대동소이하기 때문에, 사분면의 네 변이 평면에 있지 않더라도 임의의 사분면의 중점을 연결하는 선분이 동시에 이등분된다. (도표에 그려지지 않은 두 선분 \(\rm EG\), \(\rm FH\) 이다.)
이 명제는 XI권이나 다음 책 XII권의 다른 명제뿐만 아니라 다음 명제 [XI권 명제 10]의 증명에도 사용된다.