XI 권
명제
주어진 세 평면각에 대하여, 이들 중 어느 것 두 각을 더해도 나머지 한 각 보다 크고, 이 들 각을 만드는 선분의 길이는 모두 같으면, 이 길이가 같은 선분들의 끝 점들을 이어서 만든 세 선분으로 삼각형을 작도할 수 있다.
주어진 세 평면각 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\), \(\rm GHK\)에 대하여 이들 중 어느 두 각을 더해도 나머지 한 각 보다 크다고 하자. 즉, \(\rm\angle ABC+\angle DEF>\angle GHK\), \(\rm\angle DEF+\angle GHK>\angle ABC\), \(\rm\angle GHK+\angle ABC>\angle DEF\)이다. 그리고 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}=\overline{\rm EF}=\overline{\rm GH}=\overline{\rm HK}\)이라고 하자. 세 선분 \(\rm AC\), \(\rm DF\), \(\rm GK\)를 그리자. 그러면 세 선분 \(\rm AC\), \(\rm DF\), \(\rm GK\)와 길이가 같은 세 변을 갖는 삼각형을 작도 할 수 있다.
주어진 세 평면각 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\), \(\rm GHK\)에 대하여 이들 중 어느 두 각을 더해도 나머지 한 각 보다 크다고 하자. 즉, \(\rm\angle ABC+\angle DEF>\angle GHK\), \(\rm\angle DEF+\angle GHK>\angle ABC\), \(\rm\angle GHK+\angle ABC>\angle DEF\)이다. 그리고 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}=\overline{\rm EF}=\overline{\rm GH}=\overline{\rm HK}\)이라고 하자. 세 선분 \(\rm AC\), \(\rm DF\), \(\rm GK\)를 그리자.
그러면, 세 선분 \(\rm AC\), \(\rm DF\), \(\rm GK\)와 길이가 같은 세 변을 갖는 삼각형을 작도 할 수 있다.
1) \(\rm\angle ABC=\angle DEF=\angle GHK\)이라고 하자.
그러면 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DF}=\overline{\rm GK}\)이므로 이것들 중 두 개의 선분을 더해도 나머지 한 변 보다 크다. [I권 명제 4] 즉, 이 세 번분 \(\rm AC\), \(\rm DF\), \(\rm GK\)와 길이가 같은 세 변으로 이루어진 정삼각형을 작도 할 수 있다. [I권 명제 1]
2) 세 각 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\), \(\rm GHK\)의 크기가 모두 같지 않다고 하자.
선분 \(\rm HK\)의 한 점 \(\rm H\)에서 \(\rm \angle KHL=\angle ABC\)인 각 \(\rm KHL\)을 작도하자. [I 권 명제 23] 그리고 \(\overline{\rm HL}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}=\overline{\rm EF}=\overline{\rm GH}=\overline{\rm HK}\)가 되도록 선분 \(\rm HL\)을 그리자. [I권 명제 3] 두 선분 \(\rm KL\), \(\rm GL\)을 그리자.
두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm KHL\)은 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm KH}\), \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm HL}\)이고 \(\rm\angle B=\angle KHL\)이므로 합동이다.(SAS 합동) 따라서 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm KL}\)이다. [I권 명제 4]
그리고 \(\overline{\rm GH}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm HL}=\overline{\rm EF}\)이고 \(\rm\angle GHL > \angle DEF\)이므로 \(\overline{\rm GL}>\overline{\rm DF}\)이다. [I권 명제 24]
그런데 \(\overline{\rm GK}+\overline{\rm KL}>\overline{\rm GL}\)이므로 \(\overline{\rm GK}+\overline{\rm KL}>\overline{\rm DF}\)이다.
\(\overline{\rm KL}=\overline{\rm AC}\)이므로 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm GK\)와 나머지 한 선분 \(\rm DF\)는 \(\overline{\rm AC}+\overline{\rm GK}>\overline{\rm DF}\)이다.
같은 방법으로 \(\overline{\rm AC}+\overline{\rm DF}>\overline{\rm GK}\)와 \(\overline{\rm DF}+\overline{\rm GK}>\overline{\rm AC}\)인 것을 보일 수 있다.([I권 명제 22])
그러므로 주어진 세 평면각에 대하여, 이들 중 어느 것 두 각을 더해도 나머지 한 각 보다 크고, 이 들 각을 만드는 선분의 길이는 모두 같으면, 이 길이가 같은 선분들의 끝 점들을 이어서 만든 세 선분으로 삼각형을 작도할 수 있다.
Q.E.D.
이 작도는 주어진 세 평면각이 입체각을 만드는 첫 번째 작도이다.
증명은 세 평면각의 한 평면각 각각이 나머지 두 평면각의 합보다 작으면 세 선분 \(\rm AC\), \(\rm DF\), \(\rm GK\)의 한 선분 각각이 다른 두 선분의 합보다 작다는 것을 보였다. 후자는 [I권 명제 20]에 의하여 세 변과 같은 길이인 변을 갖는 삼각형을 작도하는데 필요조건이다. 그러나 [I권 명제 22]에서 그러한 삼각형 작도는 결코 충분조건을 만족하지 않는다는 것을 보여준다. 그런데 이 증명에서 근거로 이것을 적용한 것으로 충분하다는 것이다. 따라서 이 증명에는 심각한 결함이 있다.