Proposition 30 of Book XI

명제 30

밑면이 같고 높이가 같은 두 평행육면체의 옆면의 변들의 끝점들이 같은 직선위에 놓여 있지 않을 때에도 이 두 평행육면체의 부피는 같다.

두 평행육면체 $C B L A - F D H M$ , $C B L A - G E K N$ 이 밑면 $L A C B$ 를 공유하고 높이가 같다고 하자. 그리고 옆면의 변들 $A F$ , $A G$ , $L M$ , $L N$ , $C D$ , $C E$ , $B H$ , $B K$ 의 끝점들은 같은 직선에 놓여 있지 않다고 하자. 이러한 경우라도 두 평행육면체 $C B L A - F D H M$ , $C B L A - G E K N$ 의 부피는 같다.

증명

두 평행육면체 $C B L A - F D H M$ , $C B L A - G E K N$ 이 밑면 $L A C B$ 를 공유하고 높이가 같다고 하자. 그리고 옆면의 변들 $A F$ , $A G$ , $L M$ , $L N$ , $C D$ , $C E$ , $B H$ , $B K$ 의 끝점들은 같은 직선에 놓여 있지 않다고 하자.

그러면 이러한 경우라도 두 평행육면체 $C B L A - F D H M$ , $C B L A - G E K N$ 의 부피가 같다는 것을 보이자.

선분 $N K$ , $D H$ 의 연장선이 만나는 점을 $R$ 라 하자. 선분 $F M$ 의 연장선이 선분 $N K$ 와 만나는 점을 $P$ , 선분 $G E$ 의 연장선이 선분 $D H$ 와 만나는 점을 $Q$ 라하자. 선분 $G E$ 와 선분 $F M$ 의 교점을 $O$ 라 하자. 선분 $A O$ , $L P$ , $C Q$ , $B R$ 을 그리자.

그러면 입체도형 $C B L A - F D H M$ 는 평행사변형 $A C B L$ 가 밑면이고 $F D H M$ 가 마주보는 면인데, 이 입체도형은 입체도형 $C B L A - O Q R P$ 와 부피가 같다. 입체도형 $C B L A - O Q R P$ 는 평행사변형 $A C B L$ 가 밑면이고 $O Q R P$ 가 마주보는 면이다. 왜냐하면 이 두 입체도형은 밑면 $A C B L$ 를 공유하고 높이가 같으며, 옆면의 변들의 끝점들, 즉 선분 $A F$ , $A O$ , $L M$ , $C D$ , $C Q$ , $B H$ , $B H$ , $B R$ 의 끝점들이 같은 직선 $F P$ , $D R$ 에 놓여있기 때문이다. [XI권 명제 29]

입체도형 $C B L A - O Q R P$ 는 평행사변형 $A C B L$ 가 밑면이고 $O Q R P$ 가 마주보는 면이며, 입체도형 $C B L A - G E K N$ 는 평행사변형 $A C B L$ 이 밑면이고 $G E K N$ 이 마주보는 면인데, 이 두 입체도형의 부피는 같다. 왜냐하면 이 두 입체는 밑면 $A C B L$ 를 공유하고 높이가 같으며, 옆면의 변들의 끝점들, 즉 선분 $A G$ , $A O$ , $C E$ , $C Q$ , $L N$ , $L P$ , $B K$ , $B R$ 의 끝점들이 같은 직선 $G Q$ , $B R$ 에 놓여 있기 때문이다. [XI권 명제 29]

따라서 두 입체도형 $C B L A - F D H M$ , $C B L A - G E K N$ 의 부피는 같다.

그러므로 밑면이 같고 높이가 같은 두 평행육면체의 옆면의 변들의 끝점들이 같은 직선위에 놓여 있지 않을 때에도 이 두 평행육면체의 부피는 같다.

Q.E.D.

명제 30

증명

부연설명