명제 30
밑면이 같고 높이가 같은 두 평행육면체의 옆면의 변들의 끝점들이 같은 직선위에 놓여 있지 않을 때에도 이 두 평행육면체의 부피는 같다.
두 평행육면체 , 이 밑면 를 공유하고 높이가 같다고 하자. 그리고 옆면의 변들 ,
, , , , , , 의 끝점들은 같은 직선에 놓여 있지 않다고 하자.
이러한 경우라도 두 평행육면체 , 의 부피는 같다.
증명
두 평행육면체 , 이 밑면 를 공유하고 높이가 같다고 하자. 그리고 옆면의 변들 ,
, , , , , , 의 끝점들은 같은 직선에 놓여 있지 않다고 하자.
그러면 이러한 경우라도 두 평행육면체 , 의 부피가 같다는 것을 보이자.
선분 , 의 연장선이 만나는 점을 라 하자. 선분 의 연장선이 선분 와 만나는 점을 , 선분 의 연장선이 선분 와 만나는 점을 라하자. 선분 와 선분 의 교점을 라 하자. 선분 , , , 을 그리자.
그러면 입체도형 는 평행사변형 가 밑면이고 가 마주보는 면인데, 이 입체도형은 입체도형 와 부피가 같다. 입체도형 는 평행사변형 가 밑면이고 가 마주보는 면이다. 왜냐하면
이 두 입체도형은 밑면 를 공유하고 높이가 같으며, 옆면의 변들의 끝점들, 즉 선분 , , , , , , , 의 끝점들이 같은 직선 , 에 놓여있기 때문이다. [XI권 명제 29]
입체도형 는 평행사변형 가 밑면이고 가 마주보는 면이며, 입체도형 는
평행사변형 이 밑면이고 이 마주보는 면인데, 이 두 입체도형의 부피는 같다. 왜냐하면 이 두 입체는 밑면 를 공유하고 높이가 같으며, 옆면의 변들의 끝점들, 즉 선분 , , , , , , , 의 끝점들이 같은 직선 , 에 놓여 있기 때문이다. [XI권 명제 29]
따라서 두 입체도형 , 의 부피는 같다.
그러므로 밑면이 같고 높이가 같은 두 평행육면체의 옆면의 변들의 끝점들이 같은 직선위에 놓여 있지 않을 때에도 이 두 평행육면체의
부피는 같다.
Q.E.D.