증명

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두 평행육면체 \(\rm CBLA-FDHM\), \(\rm CBLA-GEKN\)이 밑면 \(\rm LACB\)를 공유하고 높이가 같다고 하자. 그리고 옆면의 변들 \(\rm AF\), \(\rm AG\), \(\rm LM\), \(\rm LN\), \(\rm CD\), \(\rm CE\), \(\rm BH\), \(\rm BK\)의 끝점들은 같은 직선에 놓여 있지 않다고 하자.

그러면 이러한 경우라도 두 평행육면체 \(\rm CBLA-FDHM\), \(\rm CBLA-GEKN\)의 부피가 같다는 것을 보이자.

선분 \(\rm NK\), \(\rm DH\)의 연장선이 만나는 점을 \(\rm R\)라 하자. 선분 \(\rm FM\)의 연장선이 선분 \(\rm NK\)와 만나는 점을 \(\rm P\), 선분 \(\rm GE\)의 연장선이 선분 \(\rm DH\)와 만나는 점을 \(\rm Q\)라하자. 선분 \(\rm GE\)와 선분 \(\rm FM\)의 교점을 \(\rm O\)라 하자. 선분 \(\rm AO\), \(\rm LP\), \(\rm CQ\), \(\rm BR\)을 그리자.

그러면 입체도형 \(\rm CBLA-FDHM\)는 평행사변형 \(\rm ACBL\)가 밑면이고 \(\rm FDHM\)가 마주보는 면인데, 이 입체도형은 입체도형 \(\rm CBLA-OQRP\)와 부피가 같다. 입체도형 \(\rm CBLA-OQRP\)는 평행사변형 \(\rm ACBL\)가 밑면이고 \(\rm OQRP\)가 마주보는 면이다. 왜냐하면 이 두 입체도형은 밑면 \(\rm ACBL\)를 공유하고 높이가 같으며, 옆면의 변들의 끝점들, 즉 선분 \(\rm AF\), \(\rm AO\), \(\rm LM\), \(\rm CD\), \(\rm CQ\), \(\rm BH\), \(\rm BH\), \(\rm BR\)의 끝점들이 같은 직선 \(\rm FP\), \(\rm DR\)에 놓여있기 때문이다. [XI권 명제 29]

입체도형 \(\rm CBLA-OQRP\)는 평행사변형 \(\rm ACBL\)가 밑면이고 \(\rm OQRP\)가 마주보는 면이며, 입체도형 \(\rm CBLA-GEKN\)는 평행사변형 \(\rm ACBL\)이 밑면이고 \(\rm GEKN\)이 마주보는 면인데, 이 두 입체도형의 부피는 같다. 왜냐하면 이 두 입체는 밑면 \(\rm ACBL\)를 공유하고 높이가 같으며, 옆면의 변들의 끝점들, 즉 선분 \(\rm AG\), \(\rm AO\), \(\rm CE\), \(\rm CQ\), \(\rm LN\), \(\rm LP\), \(\rm BK\), \(\rm BR\)의 끝점들이 같은 직선 \(\rm GQ\), \(\rm BR\)에 놓여 있기 때문이다. [XI권 명제 29]

따라서 두 입체도형 \(\rm CBLA-FDHM\), \(\rm CBLA-GEKN\)의 부피는 같다.

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그러므로 밑면이 같고 높이가 같은 두 평행육면체의 옆면의 변들의 끝점들이 같은 직선위에 놓여 있지 않을 때에도 이 두 평행육면체의 부피는 같다.

Q.E.D.