증명

주어진 세 평면각 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\), \(\rm GHK\)에 대하여 이들 중 어느 두 개의 각을 더하면 나머지 한 개의 각 보다 크다고 하고 세 각 모두 더하면 \(360^\circ\)보다 작다고 하자.

그러면, 세 각 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\), \(\rm GHK\)의 크기와 같은 각들을 가진 입체각을 만들 수 있음을 보이자.

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선분들 \(\rm AB\), \(\rm BC\), \(\rm DE\), \(\rm EF\), \(\rm GH\), \(\rm HK\)가 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}=\overline{\rm EF}=\overline{\rm GH}=\overline{\rm HK}\)가 되도록 그리자.

세 선분 \(\rm AC\), \(\rm DF\), \(\rm GK\)의 길이 \(\overline{\rm AC}\), \(\rm DF\), \(\rm GK\)와 같은 세 변으로 삼각형을 작도 할 수 있다. [XI권 명제 22]

\(\overline{\rm AC}=\overline{\rm LM}\), \(\overline{\rm DF}=\overline{\rm MN}\), \(\overline{\rm GK}=\overline{\rm NL}\)인 삼각형을 \(\rm LMN\)이라고 하자.

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삼각형 \(\rm LMN\)에 외접하는 외접원 \(\rm LMN\)을 그리자. [IV권 명제 5] 외접원 \(\rm LMN\)의 외심을 \(\rm O\)라고 하자. [III권 명제 1] 세 선분 \(\rm LO\), \(\rm MO\), \(\rm NO\)를 그리자.

1) \(\overline{\rm AB}>\overline{\rm LO}\)임을 보이자.

\(\overline{\rm AB}\le\overline{\rm LO}\)이라고 가정하자.

① \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm LO}\)이라고 가정하자.

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm LO}\), \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm LO}=\overline{\rm OM}\)이므로 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm LOM\)은 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm LO}\), \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm OM}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm LM}\)이므로 합동이다. (SSS 합동) 따라서 \(\rm\angle ABC=\angle LOM\)이다. [I권 명제 8]

같은 이유로 \(\rm\angle DEF=\angle MON\), \(\rm\angle GHK=\angle NOL\)이다. 그러므로 \(\rm\angle ABC+\angle DEF+\angle GHK=\angle LOM+\angle MON + \angle NOL = 360^\circ\)이다.

따라서 \(\rm\angle ABC+\angle DEF+\angle GHK=360^\circ\)이다. 가정에서 \(\rm\angle ABC+\angle DEF+\angle GHK<360^\circ\)이라고 하였으므로 이것은 모순이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\ne \overline{\rm LO}\)이다.

② \(\overline{\rm AB}<\overline{\rm LO}\)가 거짓인 것을 보이자.

\(\overline{\rm AB}<\overline{\rm LO}\)이라고 가정하자.

\(\overline{\rm OP}=\overline{\rm AB}\)인 선분 \(\rm OP\)를 그리고 \(\overline{\rm OQ}=\overline{\rm BC}\)인 선분 \(\rm OQ\)를 그리자. 선분 \(\rm PQ\)를 그리자.

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}\)이고 \(\overline{\rm OP}=\overline{\rm OQ}\)이므로 \(\overline{\rm LP}=\overline{\rm QM}\)이다. [I권 명제 3]

그러므로 선분 \(\rm LM\)과 선분 \(\rm PQ\)는 평행하다. [VI권 명제 2] 그리고 두 삼각형 \(\rm LMO\), \(\rm PQO\)는 닮은꼴이다. [I권 명제 9] 즉, 두 삼각형 \(\rm LMO\), \(\rm PQO\)의 대응하는 각들은 각각 같다.

그러므로 \(\overline{\rm OL}:\overline{\rm LM}=\overline{\rm OP}:\overline{\rm PQ}\)이다. [VI권 명제 4] 이를 바꾼 비례식 \(\overline{\rm LO}:\overline{\rm OP}=\overline{\rm LM}:\overline{\rm PQ}\)가 성립한다. [V권 명제 16]

그런데 \(\overline{\rm LO}>\overline{\rm OP}\)이므로 \(\overline{\rm LM}>\overline{\rm PQ}\)이다. 그리고 \(\overline{\rm LM}=\overline{\rm AC}\)이므로 \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm PQ}\)이다.

그러므로 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm PO}\), \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm OQ}\)이다.

그러므로 \(overline{\rm AB}=\overline{\rm PO}\), \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm OQ}\)이고 \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm PQ}\)이므로 \(\rm\angle ABC > \angle POQ\)이다. [I권 명제 25] 같은 방법으로 , 임을 보일 수 있다.

그러므로 \(\rm\angle ABC+\angle DEF +\angle GHK > \angle LOM + \angle MON +\angle NOL\)이다. 그런데 가정에서 \(\rm\angle ABC+\angle DEF+\angle GHK<360^\circ\)이므로 \(\rm\angle LOM+\angle MON + \angle NOL < 360^\circ\)이다. 이것은 모순이다. 즉, \(\overline{\rm AB}\not<\overline{\rm LO}\)이다.

\(\overline{\rm AB}\ne\overline{\rm LO}\)이고 \(\overline{\rm AB}\not<\overline{\rm LO}\)이므로 \(\overline{\rm AB}>\overline{\rm LO}\)이다.

2) 그 다음으로 점 \(\rm O\)에서 원 \(\rm LMN\)을 포함하는 평면에 수직인 수선의 발을 내려 그 점을 \(\rm R\)이라고 하고 선분 \(\rm OR\)을 그리자. [XI권 명제 12]

그러므로 \({\overline{\rm OR}}^2 = {\overline{\rm AB}}^2 - {\overline{\rm LO}}^2\)이다. [XI권 명제 12 보조명제] 세 선분 \(\rm RL\), \(\rm RM\), \(\rm RN\)을 그리자.

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그러므로 직선 \(\rm RO\)는 원 \(\rm LMN\)을 포함하는 평면과 수직이므로 직선 \(\rm RO\)는 세 직선 \(\rm LO\), \(\rm MO\), \(\rm NO\)모두와 수직이다. [XI권 정의 3] 그리고 두 삼각형 \(\rm ROL\), \(\rm ROM\)은 \(\overline{\rm LO}=\overline{\rm OM}\), \(\overline{\rm OR}\)은 공통, \(\rm\angle ROM=\angle ROL=90^\circ\)이므로 합동이다. (SAS 합동) 따라서 \(\overline{\rm RL}=\overline{\rm RM}\)이다. [I권 명제 4]

다음으로 가정에 의해서 \({\overline{\rm OR}}^2={\overline{\rm AB}}^2-{\overline{\rm LO}}^2\)이므로 \({\overline{\rm AB}}^2={\overline{\rm OR}}^2+{\overline{\rm LO}}^2\)이다.

그런데 삼각형 \(\rm LOR\)에서 \(\rm\angle LOR=90^\circ\)이므로 \({\overline{\rm LR}}^2={\overline{\rm LO}}^2+{\overline{\rm OR}}^2\)이다. [I권 명제 47] 그러므로 \({\overline{\rm AB}}^2={\overline{\rm RL}}^2\)이고 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm RL}\)이다.

그런데 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}=\overline{\rm EF}=\overline{\rm GH}=\overline{\rm HK}=\overline{\rm AB}\)이고 \(\overline{\rm RM}=\overline{\rm RN}=\overline{\rm RL}\)이다.

두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm LRM\)은 \(\overline{\rm LR}=\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm RM}=\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm LM}=\overline{\rm AC}\)이므로 합동이다. (SSS 합동) 그러므로 \(\rm\angle LRM=\angle ABC\)이다. [I권 명제 8] 같은 이유로 \(\rm\angle MRN=\angle DEF\), \(\rm\angle LRN=\angle GHK\)이다.

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따라서 주어진 세 평면각에 대하여 이들 어느 두 개의 각을 더하면 나머지 한 개의 각 보다 더 크다고 하면, 이들 세 각으로 입체각을 만들 수 있다. 그러므로 세 각을 모두 더한 것은 보다 작다고 가정해야 한다.

Q.E.D.

증명

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주어진 선분 \(\rm AB\), \(\rm LO\)에 대하여 일반성을 잃지 않고 \(\overline{\rm AB}>\overline{\rm LO}\)이라고 하자. 선분 \(\overline{\rm AB}\)에 지름이 \(\overline{\rm AB}\)인 반원 \(\rm ACB\)를 그리자. \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm LO}\)인 선분 \(\rm AC\)를 그리자. [IV권 명제 1] \(\overline{\rm AC}<\overline{\rm AB}\)이다. 선분 \(\rm CB\)를 그리자. 각 \(\rm ACB\)는 반원 \(\rm ACB\)의 내부 원주각이므로 \(\rm\angle ACB=90^\circ\)이다. [III권 명제 31]

그러므로 \({\overline{\rm AB}}^2={\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)이다. [I권 명제 47]

그러므로 \({\overline{\rm BC}}^2={\overline{\rm AB}}^2-{\overline{\rm AC}}^2\)이다. 그런데 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm LO}\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm BC}}^2={\overline{\rm AB}}^2-{\overline{\rm LO}}^2\)이다. 따라서 \(\overline{\rm OR}=\overline{\rm BC}\)이 되도록 직선 \(\rm OR\)을 그리면 \({\overline{\rm OR}}^2={\overline{\rm AB}}^2-{\overline{\rm OL}}^2\)이다.

Q.E.D.