증명

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두 선분 \(\rm AB\)가 한 점 \(\rm B\)에서 만나고 또 다른 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm EF\)가 점 \(\rm E\)에서 만나며 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)가 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm EF\)와 각각 평행하다.

그러면, 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 포함하는 평면과 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm EF\)를 포함하는 평면이 일치하지 않아도 두 각 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 크기가 같다는 것을 보이자.

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두 선분 \(\rm BA\), \(\rm BC\)과 두 선분 \(\rm ED\), \(\rm EF\)가 \(\overline{\rm BA}=\overline{\rm ED}\)가 되도록 그리자. 선분들 \(\rm AD\), \(\rm CF\), \(\rm BE\), \(\rm AC\), \(\rm DF\)를 그리자 [I권 명제 13]

그러면 두 선분 \(\rm BA\), \(\rm ED\)는 \(\overline{\rm BA}=\overline{\rm ED}\)이고 평행하기 때문에 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm BE\) 역시 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm BE}\)이고 평행하다. [I권 명제 33] 같은 이유로 두 선분 \(\rm CF\), \(\rm BE\) 역시 \(\overline{\rm CF}=\overline{rm BE}\)이고 평행하다. 그러므로 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm CF\)는 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm CF}\)이고 평행하다.

그런데 두 직선과 같은 평면 위에 있지 않아도 두 직선은 평행하다. [XI권 명제 9] 따라서 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm CF\)는 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm CF}\)이고 평행하다.

두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)는 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DF}\)이므로 합동이다.(SSS 합동) 따라서 \(\rm\angle ABC=\angle DEF\)이다.

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그러므로, 두 선분이 한 끝에서 만나고 또 다른 두 선분이 한 끝점에서 만나며, 두 선분이 다른 두 선분과 각각 평행하면, 이들 두 쌍의 선분들이 같은 평면 위에 있지 않아도 이들이 만드는 각의 크기는 같다.

Q.E.D.