XI 권
명제
두 평행한 직선에 대하여, 그 두 직선 위에 있는 각각의 점을 이은 직선은 두 평행한 직선을 포함하는 평면 위에 있다.
두 평행한 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)에 대하여, 두 직선 위에 있는 임의의 점을 각각 \(\rm E\), \(\rm F\)라 하면, 두 점 \(\rm E\), \(\rm F\)를 지나는 직선 \(\rm EF\)는 두 평행한 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)를 포함하는 평면 위에 있다.
평행한 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)에 대하여, 두 직선 위에 있는 임의의 점을 각각 \(\rm E\), \(\rm F\)라 하자.
그러면, 두 점 \(\rm E\), \(\rm F\)를 지나는 직선 \(\rm EF\)는 평행한 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)를 포함하는 평면 위에 있음을 보이자.
직선 \(\rm EF\)가 평행한 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)를 포함하는 평면 위에 놓여 있지 않다고 가정하자. 직선 \(\rm EF\)가 직선 \(\rm EGF\)처럼 평면 위로 들려 올려졌다고 하자. 직선 \(\rm EGF\)를 지나는 평면을 작도하자. 그러면 이 평면과 원래 평면과의 공통부분(교선)은 직선이다. [XI권 명제 3] 이 직선을 \(\rm EF\)라고 하자.
그러므로 두 직선 \(\rm EGF\), \(\rm EF\)가 어떤 넓이를 갖는 영역을 둘러싼다. 그러나 이것은 불가능하다. 그러므로 두 점 \(\rm E\), \(\rm F\)를 연결한 직선은 평면 위로 들어 올려질 수 없다. 그러므로 평행한 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm CD\)를 포함하는 평면 위에 놓이다.
그러므로 평행한 두 직선에 대하여, 그 두 직선 위에 있는 각각의 점을 이은 직선은 평행한 두 직선을 포함하는 평면 위에 있다.
Q.E.D.
이 명제의 존재는 유클리드의 평면에 대한 [I권 정의 7](그 자체가 직선으로 균등하게 놓여 있음)이 두 점이 평면에 있으면 두 점을 연결하는 직선도 놓여 있다는 것을 의미하지 않는다는 좋은 요지이다. 평면에서. 만약 그렇다면, 이 명제는 정의 상 참이 될 것이며 증거가 전혀 필요하지 않을 것이다.
이 증명은 모든 직선이 평면에 있다고 가정하며, 이는 정당화되지 않은 결론이다.
이 명제는 [XII권 명제 17]뿐만 아니라 다음 명제의 증명에도 사용된다.