증명

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두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)가 한 점 \(\rm B\)에서 만나고 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 포함하는 평면 위에 있지 않아도 되는 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)에 각각 평행한 두 직선 \(\rm DE\), \(\rm EF\)가 한 점 \(\rm E\)에서 만나다.

그러면, 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 포함하는 평면과 두 직선 \(\rm DE\), \(\rm EF\)를 포함하는 평면은 평행하다는 것을 보이자.

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점 \(\rm B\)를 지나고 두 직선 \(\rm DE\), \(\rm EF\)를 포함하는 평면 \(\rm DEF\)에 수직인 직선 \(\rm BF\)를 그리고 직선 \(\rm BG\)와 평면 \(\rm DEF\)의 교점을 \(\rm G\)라고 하자. [XI권 명제 11]

점 \(\rm G\)를 지나고 직선 \(\rm DE\)에 평행한 직선 \(\rm GH\)를 그리고, 직선 \(\rm EF\)에 평행한 직선 \(\rm GK\)를 그리자. [I권 명제 31]

그러면 직선 \(\rm BG\)는 두 직선 \(\rm DE\), \(\rm EF\)를 포함하는 평면 \(\rm DEF\)와 수직이기 때문에, 직선 \(\rm BG\)와 평면 \(\rm DEF\)의 교점 \(\rm G\)를 지나는 평면 \(\rm DEF\) 위에 있는 모든 직선은 직선 \(\rm BG\)와 수직이다. [XI 정의 3]

그런데 두 직선 \(\rm GH\), \(\rm GK\)는 평면 \(\rm DEF\) 위에 있으며 평면 \(\rm DEF\)와 직선 \(\rm BG\)의 교점 \(\rm G\)를 지난다. 따라서 \(\rm\angle BFH=\angle BGK=90^\circ\)이다.

그리고 직선 \(\rm BA\)는 직선 \(\rm GH\)와 평행하기 때문에 [XI 명제 9] \(\rm \angle GBA+\angle BFH=180^\circ\)이다. [I권 명제 29]

그런데 \(\rm\angle BFG=90^\circ\)이니 \(\rm\angle BFA=90^\circ\)이다. 그러므로 직선 \(\rm GB\)는 직선 \(\rm BA\)와 수직이다. 같은 이유로 직선 \(\rm GB\) 역시 직선 \(\rm BC\)와 수직이다.

직선 \(\rm GB\)가 두 직선 \(\rm BA\), \(\rm BC\)에 각각 수직이기 때문에 직선 \(\rm GB\)는 두 직선 \(\rm BA\), \(\rm BC\)를 포함하는 평면에 수직이다. [XI권 명제 4]

그런데 한 직선에 평행한 두 평면은 평행하다. [XI권 명제 14] 그러므로 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 포함하는 평면 \(\rm ABC\)와 두 직선 \(\rm DE\), \(\rm EF\)를 포함하는 평면 \(\rm DEF\)는 서로 평행하다.

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그러므로 두 직선이 한 점에서 만나고 또 다른 두 직선도 한 점에서 만나며, 두 직선은 다른 두 직선에 각각 서로 평행하고 같은 평면 위에 있지 않아도 두 직선은 각각 포함하는 두 평면은 서로 평행하다.

Q.E.D.