증명

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두 평면각 \(\rm BAC\), \(\rm EDF\)가 \(\rm\angle BAC=\angle EDF\)이라고 하자. 점 \(\rm A\)에서 반직선 \(\rm AG\)를 그리고, \(\rm\angle GAB=\angle MDE\), \(\rm\angle GAC=\angle MDF\)인 점 \(\rm D\)에서 반직선 \(\rm DM\)을 그려라.

반직선 \(\rm AG\)에서 임의의 점 \(\rm G\)를 잡고, 반직선 \(\rm DM\)에서 임의의 점 \(\rm M\)을 잡아라. 점 \(\rm G\)에서 두 반직선 \(\rm AB\), \(\rm AC\)을 포함하는 평면에 수직인 선분 \(\rm GL\)을 그리고, 점 \(\rm M\)에서는 두 반직선 \(\rm DE\), \(\rm DF\)를 포함하는 평면에 수직인 선분 \(\rm MN\)을 그려라. 이 선분들과 평면과의 교점을 각각 점 \(\rm L\), \(\rm M\)이라고 하자. 선분 \(\rm LA\), \(\rm ND\)를 그려라. [XI권 명제 11]

그러면 두 각 \(\rm GAL\), \(\rm MDN\)이 \(\rm \angle GAL=\angle MDN\)임을 보여야 한다.

선분 \(\rm AG\) 위에 점 \(\rm H\)를 \(\overline{\rm AH}=\overline{\rm DM}\)이 되도록 잡자. 점 \(\rm H\)에서 직선 \(\rm GL\)에 평행한 직선과 평면 \(\alpha\)와 교점을 \(\rm K\)라고 하자. 선분 \(\rm HK\)를 그리자. [I권 명제 3, I권 명제 31]

선분 \(\rm GL\)은 평면 \(\alpha\)와 수직이어서, 선분 \(\rm HK\)도 평면 \(\alpha\)와 수직이다. [XI권 명제 8]

두 점 \(\rm K\), \(\rm N\)에서 선분 \(\rm AC\), \(\rm DF\), \(\rm KB\), \(\rm DE\)에 수직이 되도록 선분 \(\rm HC\), \(\rm CB\), \(\rm MF\), \(\rm FE\)를 그리자. [I권 명제 12]

그러면, \({\overline{\rm HA}}^2={\overline{\rm HK}}^2+{\overline{\rm KA}}^2\)이고 \({\overline{\rm KA}}^2={\overline{\rm HC}}^2+{\overline{\rm CA}}^2\)이므로 \({\overline{\rm HA}}^2={\overline{\rm HK}}^2+{\overline{\rm KC}}^2+{\overline{\rm CA}}^2\)이다. [I권 명제 47]

그러나 \({\overline{\rm HC}}^2={\overline{\rm HK}}^2+{\overline{\rm KC}}^2\)이므로 \({\overline{\rm HA}}^2={\overline{\rm HC}}^2+{\overline{\rm CA}}^2\)이다. [I권 명제 48] 따라서 \(\rm\angle HCA=90^\circ\)이다. 같은 방법으로 \(\rm\angle DFM=90^\circ\)이다. [I권 명제 48]

그러므로 \(\rm\angle HCA=\angle DFM\)이다. 또한 \(\rm\angle HAC=\angle MDF\), \(\rm\angle HCA=\angle DFM\) 그리고 \(\overline{\rm AH}=\overline{\rm DM}\) 이어서 두 삼각형 \(\rm MDF\)와 \(\rm HAC\)는 합동이다.(ASA 합동) [I권 명제 26] 따라서 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DF}\)이다

같은 방법으로 이다. \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DE}\)이므로 \(\rm\angle CAB=\angle FDE\)이다. 또한 \(\rm\angle CAB=\angle FDE\)이므로 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\) 이어서 삼각형 \(\rm CAB\)와 \(\rm FDE\)는 합동이다. [I권 명제 4] 따라서 \(\rm\angle ACB=\angle DFN\)이다. 그런데, \(\rm\angle ACK=\angle DFN=90^\circ\)이다. 그러므로 \(\rm\angle BCK=\angle EFN\)이다.

같은 이유로 \(\rm\angle CBK=\angle FEN\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm EF}\), \(\rm\angle BCK=\angle EFN\), \(\rm\angle CBK=\angle FEN\) 이어서 삼각형 \(\rm BCK\)와 \(\rm EFN\)은 합동이다. [I권 명제 26] 따라서 \(\overline{\rm CK}=\overline{\rm FN}\)이다.

또한 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DF}\)이므로 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DF}\), \(\overline{\rm CK}=\overline{\rm FN}\), \(\rm\angle ACL= \angle DFN=90^\circ\)이다. 따라서 \(\overline{\rm AK}=\overline{\rm DN}\)이다. [I권 명제4]

\(\overline{\rm AH}=\overline{\rm DM}\)이므로 \({\overline{\rm AH}}^2={\overline{\rm DM}}^2\)이다. \(\rm\angle AKH=90^\circ\)이므로 \({\overline{\rm AK}}^2+{\overline{\rm KH}}^2={\overline{\rm AH}}^2\)이다. [I권 명제 47] \(\rm\angle DNM=90^\circ\)이므로 \({\overline{\rm DM}}^2+{\overline{\rm DN}}^2={\overline{\rm NM}}^2\)이다. [I권 명제 47] 따라서 \({\overline{\rm AK}}^2+{\overline{\rm KH}}^2={\overline{\rm DN}}^2+{\overline{\rm MN}}^2\)이다. 그런데, \({\overline{\rm AK}}^2={\overline{\rm DN}}^2\)이므로 \({\overline{\rm KH}}^2={\overline{\rm MN}}^2\)이다.

\(\overline{\rm HA}=\overline{\rm MD}\), \(\overline{\rm AK}=\overline{\rm DN}\)와 \(\overline{\rm HK}=\overline{\rm MN}\) 이어서 \(\rm\angle HAK=\angle MDN\)이다. [I권 명제 8]

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그러므로 두 평면각의 크기가 같고, 그 들의 꼭짓점에서 각을 포함하는 평면과 한 점에서 만나나며 반직선이 원래 각을 만드는 반직선들과 이루는 각이 같도록 반직선을 그리자. 그 반직선 위의 임의의 점에서 원래 주어진 각을 포함하는 평면에 수직인 선분들을 그려라. 또한 이 선분과 평면의 교점과 각의 꼭짓점을 연결한 선분을 그려라. 그러면 이 선분과 평면의 위에 있지 않은 직선이 만드는 각들은 크기가 같다.

Q.E.D.