XI 권
명제
평행한 면을 갖는 육면체(입체도형)의 양 끝의 면들과 평행한 평면으로 자르면 밑면과 밑면의 넓이의 비는 입체와 입체도형의 부피의 비와 같다.
평행한 면을 갖는 육면체 \(\rm ABRV-HJDC\)를 팽행한 두 평면 \(\rm ABRV\), \(\rm HJDC\)와 평행한 평면 \(\rm EGUF\)로 자르면, 두 밑면 \(\rm AEFV\), \(\rm EHCF\)의 넓이의 비는 두 입체 \(\rm ABRV-EGUF\), \(\rm EGUF-HJDC\)의 부피 비와 같다.
평행한 면을 갖는 육면체 \(\rm ABRV-HJDC\)를 팽행한 두 평면 \(\rm ABRV\), \(\rm HJDC\)와 평행한 평면 \(\rm EGUF\)로 자르자.
그러면, 두 밑면 \(\rm AEFV\), \(\rm EHCF\)의 넓이의 비는 두 입체 \(\rm ABRV-EGUF\), \(\rm EGUF-HJDC\)의 부피 비와 같다는 것을 보이자.
직선 \(\rm AH\)를 그리자. \(\overline{\rm AK}=\overline{\rm KL}=\overline{\rm KE}\)가 되도록 직선 \(\rm AH\) 위에 점 \(\rm K\), \(\rm L\)을 잡자. 또한 \(\overline{\rm HM}=\overline{\rm MN}=\overline{\rm EH}\)가 되도록 직선 \(\rm AH\) 위에 두 점 \(\rm M\), \(\rm N\)을 잡자. [I권 명제 3]
평생사변형들 \(\rm LKPG\), \(\rm KAVP\), \(\rm HMWC\), \(\rm MNSW\)를 작도하여라. 그리고 두 입체도형 \(\rm LKPZ-OK'QX\), \(\rm MNSW-IN'TY\)를 작도하자. [I권 명제 31]
그러면 \(\overline{\rm LK}=\overline{\rm KA}=\overline{\rm AE}\)이므로 세 평행사변형 \(\rm LKPZ\), \(\rm KAVP\), \(AEFV\)도 모두 같아 이들 넓이가 같으며 또한 세 평행사변형 \(\rm KK'OL\), \(\rm KABK'\), \(\rm AEGB\)도 모두 같아 이들 넓이가 같다. 그리고 세 평행사변형 \(\rm LZXO\), \(\rm KPOK'\), \(\rm AVRB\)도 모두 같아 이들 넓이가 같다. 왜냐하면 이들은 모두 마주보고 있는 평행한 평면들이기 때문이다. [XI권 명제 24] 같은 이유로 세 평행사변형 \(\rm EHCF\), \(\rm HMWC\), \(\rm MNSW\)도 모두 같아 이들 넓이가 같으며, 세 평행사변형 \(\rm HJEG\), \(HMIJ\), \(IMNN'\)도 모두 같아 이들 모두 넓이가 같고, 세 평행사변형 \(\rm DCHJ\), \(\rm MWYI\), \(NSTN'\)도 모두 같아 이들 모두 넓이가 같다.
그러므로 세 입체도형 \(\rm LKPZ-OK'QX\), \(\rm KAVP-K'BRQ\), \(\rm AEFV-BGUR\)에서 세 면들은 세 면들과 각각 넓이가 같다. 그런데 세 변들은 마주 보는 세면들은 평행이기 때문에 넓이가 같다. 그러므로 세 입체도형 \(\rm LKPZ-OK'QX\), \(\rm KAVP-K'BRQ\), \(\rm AEFV-BGUR\)은 모두 같으므로 이들 모두 부피가 같다. 같은 이유로 세 입체도형 \(\rm EHCF-GJDU\), \(\rm DYIJ-CWMH\), \(\rm MNSW-IN'TY\)도 모두 같아 이들 모두 부피가 같다. [XI권 명제 10] 그러므로 밑면 \(\rm LEFZ\)의 넓이가 밑면 \(\rm AEFV\)의 어떤 상수배 이든 간에 입체도형 \(\rm LEFZ-OGUX\) 부피는 입체도형 \(\rm AEFV-BGUR\) 부피의 같은 상수배이다. 같은 이유로 밑면 \(\rm NEFX\) 넓이가 밑면 \(\rm FEHC\) 넓이의 어떤 상수배이든 간에 입체도형 \(\rm NEFX-N'GUT\) 부피는 입체도형 \(\rm HCFE-JDUG\) 부피의 같은 상수배이다.
그리고 만약 밑면 \(\rm LEFZ\)가 밑면 \(\rm NEFS\)와 같아 넓이가 같으면 입체도형 \(\rm LEFZ-OGUX\)와 입체도형 \(\rm NEFX-N'GUT\)은 같아 이들 부피도 같다. 만약 밑면 \(\rm LEFZ\) 넓이가 밑면 \(\rm NEFS\) 넓이 보다 크면 입체도형 \(\rm LEFZ-OGUX\) 부피는 입체도형 \(\rm NEFX-N'GUT\) 부피 보다 크며 넓이가 작으면 부피도 작다.
그러므로 여기에서 네 개의 양이 있다. 두 개의 밑면 \(\rm AEFV\), \(\rm FEHC\)의 넓이와 두 입체도형 \(\rm AEFV-BGUR\), \(\rm UGJD-FEHC\)의 부피이다. 두 입체도형 \(\rm AEFV-BGUR\), \(\rm UGJD-FEHC\) 부피는 각각 밑면 \(\rm AEFV\), \(\rm FEHC\) 넓이에 어떤 같은 상수배이다. 그리고 두 입체도형 \(\rm HCFE-JDUG\), \(\rm NSFE-N'TUG\) 부피는 각각 밑면 \(\rm HCFE\), \(\rm NSFE\) 넓이에 어떤 같은 상부배이다. [V권 정의 5] 만약 밑면 \(\rm LEFZ\) 넓이가 밑면 \(\rm FENS\) 넓이 보다 크면 입체도형 \(\rm LEFZ-OGUX\) 부피도 입체도형 \(\rm NSFE-N'TUGG\) 부피보다 크고, 두 밑변의 넓이가 같으면 두 입체도형 부피도 같고, 밑변의 넓이가 작으면 부피도 작다.
따라서 두 밑면 \(\rm AEFV\), \(\rm FEHC\) 넓이의 비는 두 입체도형 \(\rm AEFV-BGUR\), \(\rm UGJD-FEHC\) 부피의 비의 비와 같다.
그러므로, 평행한 면을 갖는 육면체(입체도형)의 양 끝의 면들과 평행한 평면으로 자르면 밑면과 밑면의 넓이의 비는 입체와 입체도형의 부피의 비와 같다.
Q.E.D.
이 명제는 입체도형의 부피를 다룬 첫 번째 명제이다. 이 XI권에서는 팽행한 면을 갖는 육면체(입체도형)의 부피를 다루고 있다. 그리고 XII권에서 사면체, 각뿔대, 뿔, 원기둥, 구의 부피를 다루고 있다.
유클리드의 부피에 대한 기본 성질은 아래 두 가지이다.
(1) II권 정의 10에 나와 있다. 즉, 두 입체도형의 대응하는 모든 면이 합동이면 두 입체도형은 합동이다.
(2) 두 입체도형을 자르고 붙이는 원리를 가지고 있다. 이는 XI권 정의 10에 기술된 문장을 자세히 보아라.
2차원에서 유사한 명제는 [VI권 명제 1]이다. 1차원에서 두 도형의 비에 대한 명제는 또 다른 차원의 두 도형의 비가 같다는 것을 보여준다. 이 명제에서는 2차원 , 3차원이지만 [VI권 명제 1]에서는 1차원, 2차원이다. 명제의 에우독소스 정의(Eudoxus‘ definition) [V권 정의 5]는 비유되는 다른 종류의 이들의 비를 허용한다
이 명제의 목표는 두 개의 평행한 면을 갖는 입체도형의 밑면 넓이의 비가 그들 두 입체도형 부피의 비와 같다는 것을 보이는 것이다. 평행한 면을 갖는 육면체(parallelepiped) \(\rm AEFV-BGUR\)의 밑면은 \(\rm AEFV\)이고, 평행한 면을 갖는 육면체 \(\rm HCFE-JDUG\)의 밑면은 평행사변형 \(\rm HCFE\)이다. 그러므로 목표는 아래의 비율을 유도하는 것이다.
\(V\left(\rm AEFV-BGUR\right):V\left(\rm HCFE-JDUG\right)=S\left(\rm AEFV\right):S\left(\rm HCFE\right)\)
[V권 정의5]의 비율에 대한 정의에 의해서, 어떤 임의의 수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(m\cdot V\left(\rm AEFV-BGUR\right) >=< n \cdot V\left(\rm HCFE-JDUG\right)\)이면 \(m\cdot S\left(\rm AEFV\right) >=< n\cdot S\left(\rm HCFE\right)\)이다.
유클리드는 [VI권 명제 1]에서처럼 이 명제에서 어떤 수 \(m\), \(n\)을 으로 놓았다는 것에 주목하자.
\(m\cdot V\left(\rm AEFV-BGUR\right)= V\left(\rm LEFZ-OGUX\right)\)
\(n \cdot V\left(\rm HCFE-JDUG\right)= V\left(\rm NSFE-N'TUG \right)\)
이다. 그러므로 아래의 식이 성립한다.
\(V\left(\rm LEFZ-OGUX\right)>= < V\left(\rm NSFE-N'TUG \right)\)
\(m \cdot S\left(\rm AEFV\right) = S\left(\rm LEFZ\right)\)
\(n\cdot S\left(\rm HCFE\right)=S\left(\rm NSFE\right)\)
이다. 그러므로 아래의 식이 성립한다.
\(V\left(\rm LEFZ-OGUX\right) >=< V\left(\rm NSFE-N'TUG\right)\)이면 \(S\left(\rm VEFZ\right)>=< S\left(\rm NSFE\right)\)
유클리드는 아래와 같은 것을 시도하지는 않았고 단지 어떤 문장을 사실처럼 기술하였다.
만약 밑면 \(\rm LEFZ\) 넓이가 밑면 \(\rm FENS\) 넓이 보다 크면 입체도형 \(\rm LEFZ-OGUX\) 부피도 입체도형 \(\rm NSFE-N'TUG\) 부피보다 크고, 두 밑면의 넓이가 같으면 두 입체도형 부피도 같고, 밑면의 넓이가 작으면 부피도 작다.
상등의 경우는 [XI권 정의 10]를 바탕으로 직접적인 기초를 갖는다. 밑면이 동일한 경우 입체도형이 평면들로 결합된 도형이고 모든 평면이 같으면 입체도형도 같다는 정의이다. 하나의 밑면의 넓이가 다른 밑면의 넓이보다 크거나 작은 두 경우는 암시적으로 다른 입체도형이 전체와 동일한 입체도형의 일부와 같은 입체도형을 찾는 것과 같으며 [XI권 정의 10]을 사용하여 찾은 입체도형이 원래의 입체도형과 동일하다. 그리고 하나의 입체도형 전체가 다른 입체도형 보다 크다고 결론을 내린다.(일반상식 5)