Proposition 25 of Book XI

증명

평행한 면을 갖는 육면체 $A B R V - H J D C$ 를 팽행한 두 평면 $A B R V$ , $H J D C$ 와 평행한 평면 $E G U F$ 로 자르자.

그러면, 두 밑면 $A E F V$ , $E H C F$ 의 넓이의 비는 두 입체 $A B R V - E G U F$ , $E G U F - H J D C$ 의 부피 비와 같다는 것을 보이자.

직선 $A H$ 를 그리자. $\overset{―}{A K} = \overset{―}{K L} = \overset{―}{K E}$ 가 되도록 직선 $A H$ 위에 점 $K$ , $L$ 을 잡자. 또한 $\overset{―}{H M} = \overset{―}{M N} = \overset{―}{E H}$ 가 되도록 직선 $A H$ 위에 두 점 $M$ , $N$ 을 잡자. [I권 명제 3]

평생사변형들 $L K P G$ , $K A V P$ , $H M W C$ , $M N S W$ 를 작도하여라. 그리고 두 입체도형 $L K P Z - O K^{'} Q X$ , $M N S W - I N^{'} T Y$ 를 작도하자. [I권 명제 31]

그러면 $\overset{―}{L K} = \overset{―}{K A} = \overset{―}{A E}$ 이므로 세 평행사변형 $L K P Z$ , $K A V P$ , $A E F V$ 도 모두 같아 이들 넓이가 같으며 또한 세 평행사변형 $K K^{'} O L$ , $K A B K^{'}$ , $A E G B$ 도 모두 같아 이들 넓이가 같다. 그리고 세 평행사변형 $L Z X O$ , $K P O K^{'}$ , $A V R B$ 도 모두 같아 이들 넓이가 같다. 왜냐하면 이들은 모두 마주보고 있는 평행한 평면들이기 때문이다. [XI권 명제 24] 같은 이유로 세 평행사변형 $E H C F$ , $H M W C$ , $M N S W$ 도 모두 같아 이들 넓이가 같으며, 세 평행사변형 $H J E G$ , $H M I J$ , $I M N N^{'}$ 도 모두 같아 이들 모두 넓이가 같고, 세 평행사변형 $D C H J$ , $M W Y I$ , $N S T N^{'}$ 도 모두 같아 이들 모두 넓이가 같다.

그러므로 세 입체도형 $L K P Z - O K^{'} Q X$ , $K A V P - K^{'} B R Q$ , $A E F V - B G U R$ 에서 세 면들은 세 면들과 각각 넓이가 같다. 그런데 세 변들은 마주 보는 세면들은 평행이기 때문에 넓이가 같다. 그러므로 세 입체도형 $L K P Z - O K^{'} Q X$ , $K A V P - K^{'} B R Q$ , $A E F V - B G U R$ 은 모두 같으므로 이들 모두 부피가 같다. 같은 이유로 세 입체도형 $E H C F - G J D U$ , $D Y I J - C W M H$ , $M N S W - I N^{'} T Y$ 도 모두 같아 이들 모두 부피가 같다. [XI권 명제 10] 그러므로 밑면 $L E F Z$ 의 넓이가 밑면 $A E F V$ 의 어떤 상수배 이든 간에 입체도형 $L E F Z - O G U X$ 부피는 입체도형 $A E F V - B G U R$ 부피의 같은 상수배이다. 같은 이유로 밑면 $N E F X$ 넓이가 밑면 $F E H C$ 넓이의 어떤 상수배이든 간에 입체도형 $N E F X - N^{'} G U T$ 부피는 입체도형 $H C F E - J D U G$ 부피의 같은 상수배이다.

그리고 만약 밑면 $L E F Z$ 가 밑면 $N E F S$ 와 같아 넓이가 같으면 입체도형 $L E F Z - O G U X$ 와 입체도형 $N E F X - N^{'} G U T$ 은 같아 이들 부피도 같다. 만약 밑면 $L E F Z$ 넓이가 밑면 $N E F S$ 넓이 보다 크면 입체도형 $L E F Z - O G U X$ 부피는 입체도형 $N E F X - N^{'} G U T$ 부피 보다 크며 넓이가 작으면 부피도 작다.

그러므로 여기에서 네 개의 양이 있다. 두 개의 밑면 $A E F V$ , $F E H C$ 의 넓이와 두 입체도형 $A E F V - B G U R$ , $U G J D - F E H C$ 의 부피이다. 두 입체도형 $A E F V - B G U R$ , $U G J D - F E H C$ 부피는 각각 밑면 $A E F V$ , $F E H C$ 넓이에 어떤 같은 상수배이다. 그리고 두 입체도형 $H C F E - J D U G$ , $N S F E - N^{'} T U G$ 부피는 각각 밑면 $H C F E$ , $N S F E$ 넓이에 어떤 같은 상부배이다. [V권 정의 5] 만약 밑면 $L E F Z$ 넓이가 밑면 $F E N S$ 넓이 보다 크면 입체도형 $L E F Z - O G U X$ 부피도 입체도형 $N S F E - N^{'} T U G G$ 부피보다 크고, 두 밑변의 넓이가 같으면 두 입체도형 부피도 같고, 밑변의 넓이가 작으면 부피도 작다.

따라서 두 밑면 $A E F V$ , $F E H C$ 넓이의 비는 두 입체도형 $A E F V - B G U R$ , $U G J D - F E H C$ 부피의 비의 비와 같다.

그러므로, 평행한 면을 갖는 육면체(입체도형)의 양 끝의 면들과 평행한 평면으로 자르면 밑면과 밑면의 넓이의 비는 입체와 입체도형의 부피의 비와 같다.

Q.E.D.

부연설명

이 명제는 입체도형의 부피를 다룬 첫 번째 명제이다. 이 XI권에서는 팽행한 면을 갖는 육면체(입체도형)의 부피를 다루고 있다. 그리고 XII권에서 사면체, 각뿔대, 뿔, 원기둥, 구의 부피를 다루고 있다.

유클리드의 부피에 대한 기본 성질은 아래 두 가지이다.

(1) II권 정의 10에 나와 있다. 즉, 두 입체도형의 대응하는 모든 면이 합동이면 두 입체도형은 합동이다.

(2) 두 입체도형을 자르고 붙이는 원리를 가지고 있다. 이는 XI권 정의 10에 기술된 문장을 자세히 보아라.

증명의 개요

2차원에서 유사한 명제는 [VI권 명제 1]이다. 1차원에서 두 도형의 비에 대한 명제는 또 다른 차원의 두 도형의 비가 같다는 것을 보여준다. 이 명제에서는 2차원 , 3차원이지만 [VI권 명제 1]에서는 1차원, 2차원이다. 명제의 에우독소스 정의(Eudoxus‘ definition) [V권 정의 5]는 비유되는 다른 종류의 이들의 비를 허용한다

이 명제의 목표는 두 개의 평행한 면을 갖는 입체도형의 밑면 넓이의 비가 그들 두 입체도형 부피의 비와 같다는 것을 보이는 것이다. 평행한 면을 갖는 육면체(parallelepiped) $A E F V - B G U R$ 의 밑면은 $A E F V$ 이고, 평행한 면을 갖는 육면체 $H C F E - J D U G$ 의 밑면은 평행사변형 $H C F E$ 이다. 그러므로 목표는 아래의 비율을 유도하는 것이다.

$V (A E F V - B G U R) : V (H C F E - J D U G) = S (A E F V) : S (H C F E)$

[V권 정의5]의 비율에 대한 정의에 의해서, 어떤 임의의 수 $m$ , $n$ 에 대하여 $m \cdot V (A E F V - B G U R) >=< n \cdot V (H C F E - J D U G)$ 이면 $m \cdot S (A E F V) >=< n \cdot S (H C F E)$ 이다.

유클리드는 [VI권 명제 1]에서처럼 이 명제에서 어떤 수 $m$ , $n$ 을 으로 놓았다는 것에 주목하자.

$m \cdot V (A E F V - B G U R) = V (L E F Z - O G U X)$

$n \cdot V (H C F E - J D U G) = V (N S F E - N^{'} T U G)$

이다. 그러므로 아래의 식이 성립한다.

$V (L E F Z - O G U X) >=< V (N S F E - N^{'} T U G)$

$m \cdot S (A E F V) = S (L E F Z)$

$n \cdot S (H C F E) = S (N S F E)$

이다. 그러므로 아래의 식이 성립한다.

$V (L E F Z - O G U X) >=< V (N S F E - N^{'} T U G)$ 이면 $S (V E F Z) >=< S (N S F E)$

유클리드는 아래와 같은 것을 시도하지는 않았고 단지 어떤 문장을 사실처럼 기술하였다.

만약 밑면 $L E F Z$ 넓이가 밑면 $F E N S$ 넓이 보다 크면 입체도형 $L E F Z - O G U X$ 부피도 입체도형 $N S F E - N^{'} T U G$ 부피보다 크고, 두 밑면의 넓이가 같으면 두 입체도형 부피도 같고, 밑면의 넓이가 작으면 부피도 작다.

상등의 경우는 [XI권 정의 10]를 바탕으로 직접적인 기초를 갖는다. 밑면이 동일한 경우 입체도형이 평면들로 결합된 도형이고 모든 평면이 같으면 입체도형도 같다는 정의이다. 하나의 밑면의 넓이가 다른 밑면의 넓이보다 크거나 작은 두 경우는 암시적으로 다른 입체도형이 전체와 동일한 입체도형의 일부와 같은 입체도형을 찾는 것과 같으며 [XI권 정의 10]을 사용하여 찾은 입체도형이 원래의 입체도형과 동일하다. 그리고 하나의 입체도형 전체가 다른 입체도형 보다 크다고 결론을 내린다.(일반상식 5)

명제 25

증명

부연설명

증명의 개요