증명

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두 평행육면체 \(\rm DCAF-HBLM\), \(\rm ECAF-KBLN\)이 밑면 로 같고 높이가 같으며 서있는 변들 \(\rm AG\), \(\rm AF\), \(\rm LM\), \(\rm LN\), \(\rm CD\), \(\rm CE\), \(\rm BH\), \(\rm BK\)의 끝점들이 같은 선분 \(\rm FN\), \(\rm DK\)에 위에 놓여 있다고 하자.

그러면 이 두 평행육면체 \(\rm DCAF-HBLM\), \(\rm ECAF-KBLN\)의 부피는 같다는 것을 보이자.

두 사각형 \(\rm DCBH\), \(\rm ECBK\)는 평행사변형이므로 \(\overline{\rm CB}=\overline{\rm DH}\), \(\overline{\rm CB}=\overline{\rm EK}\)이다. [I권 명제 34] 그러므로, \(\overline{\rm DH}=\overline{\rm EK}\)이다.

두 선분 \(\rm DH\), \(\rm EK\)에서 각각 선분 \(\rm EH\)를 빼자.

\(\overline{\rm DH}-\overline{\rm EH}=\overline{\rm EK}-\overline{\rm EH}\)

\(\overline{\rm DE}=\overline{\rm HK}\)

그러므로 두 삼각형 \(\rm DCE\), \(\rm HBK\)는 넓이가 같고 [I권 명제 8, I권 명제 4], 두 평행사변형 \(\rm DFGE\), \(\rm HMNK\)는 넓이가 같다. [I권 명제 36] 같은 이유로 두 삼각형 \(\rm AFG\), \(\rm LMN\)는 넓이가 같다.

그런데 두 평행사변형 \(\rm DCAF\), \(\rm HBLM\)은 넓이가 같고, 두 평행사변형 \(\rm ECAG\), \(\rm KBLN\)은 넓이가 같다. 왜냐하면 이들은 서로 마주보는 면이기 때문이다. [XI권 정의 10.] 그러므로 두 삼각형 \(\rm AFG\), \(\rm DCE\)와 세 평행사변형 \(\rm CDAF\), \(\rm DFGE\), \(\rm ECAG\)로 만든 각기둥은 두 삼각형 \(\rm LMN\), \(\rm BHK\)와 세 평행사변형 \(\rm HBLM\), \(\rm HMNK\), \(\rm KBLN\)로 만든 각기둥과 부피가 같다.

이 두 입체도형에 각각 평행사변형 \(\rm CALB\)를 밑면으로 하고 평행사변형 \(\rm GBHM\)을 윗면으로 하는 입체도형을 더하면 두 평행육면체 \(\rm DCAF-HBLM\), \(\rm ECAF-KBLN\)의 부피가 같다.

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그러므로 밑면이 같고 높이가 같은 두 평행육면체에서 옆면의 변들의 끝점들이 같은 직선에 놓여 있으면 두 입체의 부피는 같다.

Q.E.D.