증명

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평행한 두 평면 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{F}$, $\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{G}\mathrm{H}$는 평면 $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}$와 만나고 그들 두 교선을 각각 $\mathrm{E}\mathrm{F}$, $\mathrm{G}\mathrm{H}$이라고 하자.

그러면, 두 교선(직선) $\mathrm{E}\mathrm{F}$, $\mathrm{G}\mathrm{H}$는 평행하다.

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1) 첫 번째로 점 ,$\mathrm{F}$ 점 $\mathrm{H}$ 방향의 점 $\mathrm{K}$에서 만난다고 가정하자.

그런데 직선 $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{K}$가 평면 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{F}$ 위에 있기 때문에 직선 $\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{K}$ 위의 모든 점도 평면 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{F}$ 위에 있다. [XI권 명제 1] 같은 이유로, 점 $\mathrm{K}$는 평면 $\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{G}\mathrm{H}$ 위에도 있다. 그러므로 두 평면 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{F}$, $\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{G}\mathrm{H}$는 점 $\mathrm{K}$에서 만난다.

그런데 가정에서 두 평면 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{F}$, $\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{G}\mathrm{H}$는 평행하다고 하였기 때문에 만나지 않는다.(교점을 가지지 않는다.) 그러므로 두 직선 $\mathrm{E}\mathrm{F}$, $\mathrm{G}\mathrm{H}$는 점 $\mathrm{F}$, 점 $\mathrm{H}$ 방향에서 만나지 않는다.

2) 같은 이유로 두 직선 $\mathrm{E}\mathrm{F}$, $\mathrm{G}\mathrm{H}$가 점 $\mathrm{E}$, 점 $\mathrm{G}$ 방향에서 만나지 않는다.

그런데 어느 방향에서도 서로 만나지 않은 두 직선은 서로 평행하다. 그러므로 두 직선 $\mathrm{E}\mathrm{F}$, $\mathrm{G}\mathrm{H}$는 평행하다.

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그러므로 평행한 두 평면이 어떤 평면과 만나면 이 들 두 교선(직선)은 평행하다.

Q.E.D.