증명

---

평행한 두 평면 \(\rm ABEF\), \(\rm CDGH\)는 평면 \(\rm EFGH\)와 만나고 그들 두 교선을 각각 \(\rm EF\), \(\rm GH\)이라고 하자.

그러면, 두 교선(직선) \(\rm EF\), \(\rm GH\)는 평행하다.

---

1) 첫 번째로 점 ,\(\rm F\) 점 \(\rm H\) 방향의 점 \(\rm K\)에서 만난다고 가정하자.

그런데 직선 \(\rm EFK\)가 평면 \(\rm ABEF\) 위에 있기 때문에 직선 \(\rm EFK\) 위의 모든 점도 평면 \(\rm ABEF\) 위에 있다. [XI권 명제 1] 같은 이유로, 점 \(\rm K\)는 평면 \(\rm CDGH\) 위에도 있다. 그러므로 두 평면 \(\rm ABEF\), \(\rm CDGH\)는 점 \(\rm K\)에서 만난다.

그런데 가정에서 두 평면 \(\rm ABEF\), \(\rm CDGH\)는 평행하다고 하였기 때문에 만나지 않는다.(교점을 가지지 않는다.) 그러므로 두 직선 \(\rm EF\), \(\rm GH\)는 점 \(\rm F\), 점 \(\rm H\) 방향에서 만나지 않는다.

2) 같은 이유로 두 직선 \(\rm EF\), \(\rm GH\)가 점 \(\rm E\), 점 \(\rm G\) 방향에서 만나지 않는다.

그런데 어느 방향에서도 서로 만나지 않은 두 직선은 서로 평행하다. 그러므로 두 직선 \(\rm EF\), \(\rm GH\)는 평행하다.

---

그러므로 평행한 두 평면이 어떤 평면과 만나면 이 들 두 교선(직선)은 평행하다.

Q.E.D.