XI 권
명제
평면각들에 의해 만들어진 입체각의 평면각을 모두 더해도 \(360^\circ\) 보다 작다.
세 평면각 \(\rm BAC\), \(\rm CAD\), \(\rm DAB\)가 점 \(\rm A\)에서 만나 입체각을 만들면 \(\rm\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB<360^\circ\)이다.
세 평면각 \(\rm BAC\), \(\rm CAD\), \(\rm DAB\)가 점 \(\rm A\)에서 만나 입체각을 만든다.
그러면, \(\rm\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB<360^\circ\)이다.
세 반직선 \(\rm AB\), \(\rm AC\), \(\rm AD\)에서 각각 임의의 점 \(\rm B\), \(\rm C\), \(\rm D\)를 잡자. 그리고 세 선분 \(\rm BC\), \(\rm CD\), \(\rm DB\)를 그리자.
세 개의 평면각 \(\rm CAB\), \(\rm ABD\), \(\rm CBD\)가 점 \(\rm B\)에서 만나 입체각을 만들기 때문에 이들 중 두 개의 각을 더하면 나머지 한 각보다 더 크다. [XI권 명제 20] 그러므로 \(\rm\angle CBA+\angle ABD>\angle CBD\)이다.
같은 이유로 \(\rm\angle BCA+\angle ACD> \angle BCD\)이고 \(\rm\angle CDA+\angle ADB>\angle CDB\)이다.
그러므로 \(\rm\angle CBA+\angle ABD+\angle BCA+\angle ACD+\angle CDA+\angle ADB>\angle CBD+\angle BCD+\angle CDB\)이다.
그런데 \(\rm\angle CBD+\angle BCD+\angle CDB=180^\circ\)이다. [I권 명제 32] 그러므로 \(\rm\angle CBA+\angle ABD+\angle BCA+\angle ACD+\angle CDA+\angle ADB>180^\circ\)이다
세 개의 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm ACD\), \(\rm ADB\)의 각각 세 각을 더하면 \(180^\circ\)이다. 그러므로 이 세 개의 삼각형의 아홉 개의 각을 모두 더하면 다음과 같다.
\(\rm\angle CDB+\angle ACB+\angle BAC+\angle ACD+\angle CDA+\angle CAD+\angle ADB+\angle DBA+\angle BAD=3\times 180^\circ=540^\circ\)
그런데 \(\rm\angle CBA+\angle ACB+\angle ACD+\angle CDA+\angle ADB+\angle DBA>180^\circ\)이므로 나머지 세 각 \(\rm BAC\), \(\rm CAD\), \(\rm DAB\)은 입체각을 만들고 \(\rm\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB<360^\circ\)이다.
그러므로 평면각들에 의해 만들어진 입체각의 평면각을 모두 더해도 \(360^\circ\) 보다 작다.
Q.E.D.
[XI권 명제 23]의 조건과 [XI권 명제 20]의 조건은 입체각을 구성하는 충분조건이다.
이 증명은 모든 경우에 평면각이 네 개 이상일 때가 아니라 세 개일 때 평면각의 합이 \(360^\circ\) 보다 작다는 것을 증명한 것이다. 네 개 이상의 평면각이 있을 때의 증명은 비슷하지만 “볼록하고 직선으로 구성된 볼록 \(n\)다각형의 내각의 합은 \(\left(2n-4\right)\times 90^\circ\)이라고 기술한 프로클로스(Proclus)의 [I권 명제 32]의 따름명제를 이야기할 필요가 있다.
이 명제는 XIII권에서 정다면체가 다섯 개 밖에 없다는 것을 보여주기 위해 [XII권 명제 18]의 부연설명에서 언급한 명제의 증명에 사용된다.