유클리드 원론
XI권
같은 개수의 닮은 평면도형들로 둘러싸인 두 입체도형을 ‘닮은 입체도형’이라고 한다.
같은 개수와 같은 크기의 닮은 평면도형으로 둘러싸인 두 입체도형을 ‘닮음이며 같은 입체도형’이라고 한다.
[정의 9]는 닮은 입체 도형을 정의하지만 [정의 10]은 일반적으로 합동인 입체 도형을 묘사하고 있다. 유클리드는 이 이후 책에서 합동인 평면 도형에 대해 "같고 닮은" 평면 도형을 사용하지만 평면 도형의 합동이 정의 된 제 6 권 이전의 평면 도형에 대해서는 그렇게 할 수 없었다.
이러한 정의는 닮은 직선으로 된 그림에 대한 [VI권 정의 1]처럼 불완전하다. 평면 도형 그림에 대한 닮음 개념은 연속적인 꼭짓점과 측면의 대응을 암묵적으로 가정했다. 닮은 입체 도형 그림의 이 개념은 인접한 모서리와 면의 대응을 가정한다.
때로는 동일한 면이지만 인접 면은 서로 다른 입체 도형을 구성할 수 있다. 예를 들어, 두 개의 정사각뿔(피라미드)를 정육면체의 정사각형 면 중 두 개에 부착하는 두 가지 뚜렷한 방법이 있다. 그들은 정육면체의 반대쪽 면이나 정육면체의 인접한 면에 부착할 수 있다. 결과 입체도형은 모두 네 개의 남은 정사각형 면과 여덟 개의 새로운 삼각형 면을 가지지만 정사각형과 삼각형의 위치는 다르다.
헤론이 정의한 닮은 입체 도형, "놓여있는 평면이 동일하고 닮음이고, 크기와 개수가 같다는 것 포함 한 것"은 유클리드 정이 보다 좀 더 분명하다.
또한 유클리드가 오목한 입체도형의 가능성과 그것들이 그의 정의를 야기하는 문제, 심슨(Simson)이 알아차린 문제들을 고려하지 않았다는 것은 명백하다. 정육면체를 가지고 먼저 하나의 정사각형 면의 바깥쪽에 피라미드를 추가하고, 두 번째로는 정사각형 면의 안쪽으로부터 동일한 피라미드를 빼자. 결과적으로 두 입체도형은 모두 5개의 정사각형 면과 4개의 삼각형 면을 가지며 인접성은 동일하지만 매우 다른 입체도형이다.
이 문제를 해결하려면 닮은 입체 도형의 정의에 대한 추가 조건이 마련되어야 한다. 예를 들어, 면 사이의 이면각에 대한 조건 또는 모든 대응하는 꼭지점 쌍 사이의 거리에 대한 조건이다.