증명

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주어진 평면 위의 임의의 점 \(\rm A\)가 있다.

그러면, 점 \(\rm A\)를 지나고 평면에 수직인 직선을 그릴 수 있다는 것을 보이자.

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이 명제 위에 있지 않은 임의의 점 \(\rm B\)를 잡자. 점 \(\rm B\)을 지나고 평면에 수직인 직선을 그리고 그 직선과 평면고의 교점을 \(\rm C\)라고 하자. [XI권 명제 11] 그리고 점 \(\rm A\)를 지나며 직선 \(\rm BC\)에 평행한 직선 \(\rm AD\)를 그리자. [I권 명제 31]

그러면 두 직선 \(\rm AD\), \(\rm CB\)는 평행하며 직선 \(\rm BC\)는 주어진 평면과 수직이다. 그러므로 직선 \(\rm AD\)도 주어진 평면과 수직이다. [XI권 명제 8]

따라서 직선 \(\rm AD\)는 점 \(\rm A\)를 지나며 주어진 평면과 수직이다.

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그러므로, 주어진 평면 위의 임의의 점을 지나고 평면에 수직인 직선을 그릴 수 있다.

Q.E.D.