증명

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입체도형 \(\rm ABCD-EFGH\)가 평행한 평면들 \(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\), \(\rm ABHG\), \(\rm DCFE\), \(\rm BCFH\), \(\rm ADEG\)로 둘러싸여 있다고 하자.

그러면, 마주보는 두 평면 쌍들 \(\rm ABCD\), \(\rm EFGH\)와 \(\rm ABHG\), \(\rm DCFE\)와 \(\rm BCFH\), \(\rm ADEG\)은 크기가 같은 평행사변형임을 보이자.

평행한 두 평면 \(\rm ABHG\), \(\rm DCFE\)가 평면 \(\rm ABCD\)와 만날 때 생기는 두 교선은 평행하다. [XI권 명제 16] 그러므로 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm DC\)는 평행이다. \(\cdots\)①

다시 평행한 두 평면 \(\rm BCFH\), \(\rm ADEG\)가 평면 \(\rm ABCD\)와 만날 때 생기는 두 교선은 평행하다. [XI권 명제 16] 그러므로 두 직선 \(\rm BC\), \(\rm AD\)는 평행이다. \(\cdots\)②

①과 ②에 의하여 사각형 \(\rm ABCD\)는 평행사변형이다.

이제 크기가 같음을 보이자.

두 직선 \(\rm AB\), \(\rm BH\)과 두 선분 \(\rm DC\), \(\rm CF\)가 각각 한 점 \(\rm B\), \(\rm C\)에서 만나고, 두 직선 \(\rm AB\), \(\rm DC\)와 두 직선 \(\rm BH\), \(\rm CF\)는 각각 평행하고 같은 평면 위에 있지 않다. 그러므로 같은 각을 만든다. [XI권 명제 10] 따라서 \(\rm\angle ABH=\angle DCF\)이다.

\(\overline{\rm AB}=\overline{\rm DC}\), \(\overline{\rm BH}=\overline{\rm CF}\)이고 [1권 명제 34], \(\rm\angle ABH=\angle DCF\)이므로 \(\overline{\rm AH}=\overline{\rm DF}\)이고, 두 삼각형 \(\rm ABH\), \(\rm DCF\)는 합동이다.(SSS 합동) [I권 명제 4]

(\(\square\rm ABHG\)의 넓이)=\(2\)(\(\triangle\rm ABH\)의 넓이)이며, (\(\square\rm DCFE\)의 넓이)=\(2\)(\(\triangle\rm DCF\)의 넓이)이다. [I권 명제 34] 그러므로 (\(\square\rm ABHG\)의 넓이)=(\(\square\rm DCFE\)의 넓이)이다.

마찬가지 방법으로 (\(\square\rm ABCD\)의 넓이)=(\(\square\rm GHFE\)의 넓이), (\(\square\rm ADEG\)의 넓이)=(\(\square\rm BCFE\)의 넓이)이다.

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그러므로, 어떤 입체도형이 평행한 평면들로 둘러싸여 있으면, 마주보는 두 평면은 크기가 같은 평행사변형이다.

Q.E.D.