증명

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교선이 \(\rm BD\)인 두 평면 \(\rm ADB\), \(\rm CDB\)는 기준 평면에 수직이다.

그러면, 두 평면 \(\rm ADB\), \(\rm CDB\)의 교선 는 기준 평면과 수직인 것을 보이자.

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두 평면 \(\rm ADB\), \(\rm CDB\)의 교선 \(\rm BD\)가 기준 평면과 수직이 아니라고 가정하자.

그러면 평면 \(\rm ADB\) 위에 있으며 점 \(\rm D\)를 지나고 직선 \(\rm AD\)에 직각인 직선 \(\rm DE\)를 그리자. 그리고 평면 \(\rm CBD\) 위에 있으며 점 \(\rm D\)를 지나고 직선 \(\rm CD\)에 직각인 직선 \(\rm DF\)를 그리자. [I권 명제 11]

평면 \(\rm ADB\)는 기준 평면과 수직이고 직선 \(\rm DE\)는 평면 \(\rm ADB\)와 기준 평면의 교선 \(\rm AD\)와 수직이므로 직선 \(\rm DE\)는 기준 평면과 수직이다. [XI권 정의 4]

같은 이유로 직선 \(\rm DE\)도 기준 평면과 수직인 것을 보일 수 있다. 그러므로 같은 점 \(\rm D\)에서 기준 평면과 수직인 두 개의 서로 다른 직선을 같은 쪽에 그렸다. 이것은 불가능하다. [XI권 명제 13]

그러므로 두 평면 \(\rm ADB\), \(\rm CDB\)의 교선 \(\rm DB\) 이외에는 점 \(\rm D\)를 지나고 기준 평면에 수직이 되는 직선은 있을 수 없다.

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그러므로 서로 만나는 두 평면이 어떤 평면과 수직이면 두 평면의 교선도 어떤 평면에 수직이다.

Q.E.D.