XI 권
명제
두 평면이 서로 만나면, 그들의 공통부분은 직선이다.
두 평면 \(\rm ABD\), \(\rm BCD\)가 서로 만나고 공통부분이 선 \(\rm DB\)이면 선 \(\rm DB\)는 직선이다.
두 평면 \(\rm ABD\), \(\rm BCD\)가 서로 만나고 공통부분이 선 \(\rm DB\)이다.
그러면, 선 \(\rm DB\)는 직선임을 보이자.
만약 선 \(\rm DB\)가 직선이 아니라고 하면, 두 점 \(\rm D\), \(\rm B\)를 잇는 직선 \(\rm BED\)를 평면 \(\rm ABD\) 위에 놓이도록 그리고, 직선 \(\rm BFD\)를 평면 \(\rm BCD\) 위에 놓이도록 그리자.
그러면 두 선분 \(\rm DEB\), \(\rm DFB\)의 양 끝 점이 \(\rm D\), \(\rm B\)로 같으며 넓이를 둘러싸고 있다. 이것은 불가능하다.
그러므로 두 선분 \(\rm DEB\), \(\rm DFB\)를 잇는 어떤 선들 중에 두 평면 \(\rm ABD\), \(\rm BCD\)의 공통부분(교선) \(\rm BD\)를 제외하고 직선이 아닌 것을 보일 수 있다.
그러므로 두 평면이 서로 만나면, 그들의 공통부분은 직선이다.
Q.E.D.
이 명제의 증명에는 몇 가지 결함이 있다. 공리 I (I권 에서)는 직선을 어떤 점에서 어떤 점으로 그릴 수 있다고 말한다. 그 평면의 어떤 점에서 그 평면의 어떤 점까지 어떤 평면에 대해 그 평면의 직선을 그릴 수 있다고 해석되는 것 같다. 다음으로 이 두 평면의 선은 "분명히 영역을 둘러싸고 있는 터무니없는 일이다."라고 기술하고 있다. 그러나 두 선은 같은 평면에 있지 않기 때문에 영역을 둘러싸고 있는지가 불분명하다. 또한 두 개의 직선이 영역을 둘러 쌀 수 없다는 설명은 나중에 명제 1에 추가되었지만 원래 원론에는 나타나지 않는다.
증명에 대한 더 심각한 결함은 그것이 명제의 진술을 증명하지 못한다는 것이다. 기껏해야 두 평면이 하나 이상의 점에서 교차하면 두 평면을 연결하는 선도 교점에 있음을 보여준다. 그러나 교점이 하나의 점으로 만 구성 될 가능성은 무시된다. 이 명제는 한 점에서 교차하는 것으로 알려진 두 개의 평면에서 [XI권 명제 5]에서 사용되므로 교선이 생성된다.
진짜 문제는 공간을 3차원으로 제한하는 가정이 없다는 것이다. 4차원 이상에서 두 평면은 한 점에서만 교차 할 수 있다. 19세기 이전에 유클리드나 다른 누구도 더 높은 차원의 기하학의 가능성을 인식하지 못했지만 그럼에도 불구하고 이 증명의 결점은 분명하다. 기하학을 3 차원으로 제한하는 다른 가정이 있다. 예를 들어, 하나는 평면이 공간을 두 면으로 나누는 아이디어에 기반 한다.
이 명제는 [XI권 명제 5]의 증명에서 처음 사용되고 여러 곳에서 자주 사용된다.