유클리드 원론
XI권
반원의 지름을 고정시키고 고정된 지름을 중심으로 반원을 회전시켜서 원래 위치로 돌아가게 하여 회전하는 반원에 의해 둘러싸여 만들어진 입체도형을 구(sphere)라고 한다.
고정된 상태가 유지되고 반원이 회전하는 직선(지름)을 구의 축이라고 한다.
구의 중심은 반원의 중심과 같다.
구의 지름은 구의 중심을 지나는 직선과 구 표면의 두 교점을 이은 선분이다.
구에 대한 대체 정의가 있지만 유클리드는 아마도 [XI권 정의18]의 원뿔 및 [XI권 정의 22]의 원기둥의 정의와 유사하기 위해 이것을 선택하였다. 이들은 모두 회전의 입체도형, 즉 회전축이라고 하는 직선을 중심으로 평면 도형을 회전하여 생성된 입체도형으로 정의된다.
유클리드가 III권에서 원 이론을 개발 한 정도로 구 이론을 발전시키기 위해서는 다른 책이 필요할 것이다. 그러나 그것은 분명히 그의 목표가 아니었다. 명제의 부족이 너무 심해서 구의 표면에 있는 두 점이 중심에서 등거리에 있는 것도 보여주지 않았다. (구 표면의 모든 점은 회전 된 반원 중 하나의 원둘레 위에 있는 점이며 이러한 반원의 모든 점은 반원의 중심에서 등거리에 있다.)
아래 그림에는 평면에 중심이 \(\rm C\)이고 지름이 \(\overline{\rm AB}\)인 반원 \(\rm ADB\)가 있다. 반원을 직선 \(\rm AB\)를 중심축으로 회전하면 구가 생성된다. 구의 축은 선분 \(\rm AB\)이고 중심은 \(\rm C\)이다. 점 \(\rm E\)가 구의 한 점이고 점 \(\rm F\)가 정반대인 점이면 선분 \(\rm EF\)는 구의 지름이다.
원론의 구체에 대한 명제는 거의 없다. [XII권 명제 17]은 구의 부피 비율에 대한 [XII권 명제 18]에 대한 예비 다면체에 의한 구의 근사값을 인정한다. 또한 정다면체는 XIII권의 구에 내접시켜서 묘사되어 있다.
명제가 너무 적기 때문에 증명에 빈틈이 있다. 예를 들어, [XII권 명제 17]에서는 평면과 구의 교차점이 원이라고 주장하지만 정당화가 부족하다.