XI 권
명제
세 개의 평면각이 어떤 입체각을 만들면 이들 중 어느 두 개의 평면각을 더한 크기는 나머지 한 평면각 크기보다 크다.
세 평면각 \(\rm BAC\), \(\rm CAD\), \(\rm DAB\)가 한 점 에서 만나 입체각을 만들면 세 각 \(\rm BAC\), \(\rm CAD\), \(\rm DAB\) 중 어느 두 개의 각을 더한 크기는 나머지 한 각의 크기보다 크다.
세 평면각 \(\rm BAC\), \(\rm CAD\), \(\rm DAB\)가 한 점 에서 만나 입체각을 만들자.
그러면, 세 각 \(\rm BAC\), \(\rm CAD\), \(\rm DAB\) 중 어느 두 개의 각을 더한 크기는 나머지 한 각의 크기보다 크다는 것을 보이자.
1) \(\rm\angle BAC=\angle CAD = \angle DAB\)이면 어느 두 개를 더하더라고 명백히 나머지 한 각 보다 크다.
2) 세 각 \(\rm BAC\), \(\rm CAD\), \(\rm DAB\)의 크기가 모두 같은 크기가 아니라고 하자.
일반성을 잃지 않고 \(\rm\angle BAC\)가 가장 크다고 하자. 선분 \(\rm AB\)의 한 점 \(\rm A\)에서 \(\rm \angle BAE=\angle DAB\)인 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm AC\)를 포함하는 평면 위에 있는 각 \(\rm BAE\)를 작도하자. [I권 명제 23] \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm AD}\)가 되도록 선분 \(\rm AE\)를 그리자. [I권 명제 3] 그리고 점 \(\rm E\)를 지나는 직선 \(\rm BEC\)를 그리자. 직선 \(\rm BEC\)가 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm AC\)와 만나는 점을 각각 \(\rm B\), \(\rm C\)라고 하자. 두 직선 \(\rm DB\), \(\rm DC\)를 그리자.
두 삼각형 \(\rm ABD\), \(\rm ABE\)는 \(\overline{\rm DA}=\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm AB}\)는 공통, \(\rm\angle BAE=\angle DAB\)이므로 합동이다.(SAS 합동) 따라서 두 변 \(\rm DB\), \(\rm DE\)는 \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm BE}\)이다. [I권 명제 4]
\(\overline{\rm DB}+\overline{\rm DC}>\overline{\rm BC}\)이다. [I권 명제 20] \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm BE}\)인 것을 보였으므로 \(\overline{\rm DC}>\overline{\rm EC}\)이다.
\(\overline{\rm DA}=\overline{\rm AE}\)이고 \(\overline{\rm AC}\)는 공통이면 두 밑변 \(\rm DC\), \(\rm EC\)는 \(\overline{\rm DC}>\overline{\rm EC}\)이므로 \(\rm\angle DAC > \angle EAC\)이다. [I권 명제 25]
그런데 \(\rm\angle DAB=\angle BAE\)이므로 \(\rm DAB+\angle DAC=\angle BAE+\angle DAC > angle BAE+\angle EAC=\angle BAC\)이다.
따라서 \(\rm\angle DAB+\angle DAC >\angle BAC\)이다.
같은 방법으로 다른 두 각의 크기를 더하면 나머지 한 각의 크기보다 크다는 것을 보일 수 있다.
그러므로 세 개의 평면각이 어떤 입체각을 만들면 이들 중 어느 두 개의 평면각을 더한 크기는 나머지 한 평면각 크기보다 크다.
Q.E.D.
이 명제는 세 개의 평면각으로 입체각을 구성하는데 필요한 두 가지 조건 중 하나이다. 다음 필요조건은 다음 명제에 기술 된다. 또한 [XI권 명제 23]에서 두 조건의 충분조건을 보여준다.
이 증명의 구조는 완전히 명확하지 않다. 복표는 두 각의 합이 나머지 한 각 보다 크다는 것을 보여주는 것이다. 이 모든 각이 동일하다면 목표인 결론에 분명히 충족된다는 것에 유념하자. 첫 번째 각이 두 번째 각 보다 크고 두 번째 각과 세 번째 각의 합이 첫 번째 각보다 크다는 가정 하에 두 번째와 세 번째 각의 합이 첫 번째 각 보다 크다. 그러고 나서 다른 경우들도 비슷하게 증명 할 수 있다고 분명히 서술하고 있다.
증명 형태의 의도에 대해서는 다양한 해석도 되었지만 구조를 명확히 하기 위해서는 모두 사소한 변경이 필요하다.
이 명제까지 XI권의 각 구선은 한 평면 내에서 작도하지만 동일한 명제에서 다른 작도가 다른 평면에서 발생 할 수 있다. 그러나 여기서 작도 중 하나는 두 개의 다른 평면에서 작도된다. 각 는 다른 평면에서 주어진 각 와 같도록 한 평면 내에서 작도된다. 엄밀히 말하면 주어진 각과 동일한 각을 구성하기 위해 [I권 명제 23]의 작도는 한 평면 내에서 작도된다. I권을 통해 그 작도를 추적하는 것은 [I권 명제 3]에서 [I권 명제 22]까지 이어진다. [I권 명제 3]은 한 선분을 다른 선분에서 같은 길이의 크기로 잘라낸다. 이 기본 구조는 두 선이 서로 다른 평면에 있도록 쉽게 수정할 수 있다. 일단 완료 되면, I권의 나머지 구성도 구성 요소가 다른 평면에 있을 때 적용된다. 그래도 이 명제의 증명에서 증명 한 결과를 적용하기 전에 세부 사항을 확인해야 한다.