XI 권
명제
높이가 같은 두 각기둥에서, 하나는 밑면이 평행사변형이고 다른 하나는 밑면이 삼각형이며, 평행사변형의 넓이가 삼각형의 넓이의 두 배일 때 두 각기둥의 부피는 같다.
높이가 같은 두 각기둥
높이가 같은 두 각기둥
그러면 (각기둥
두 평행육면체
(평행사변형
그런데 밑면의 넓이가 같고 높이가 같은 평행육면체는 부피가 같다.[11권 명제31] 그러므로 (평행육면체
그러므로 높이가 같은 두 각기둥에서, 하나는 밑면이 평행사변형이고 다른 하나는 밑면이 삼각형이며, 평행사변형의 넓이가 삼각형의 넓이의 두 배일 때 두 각기둥의 부피는 같다.
Q.E.D.
이 명제는 각기둥 부피에 관한 [XI권 명제 5]를 증명하기 위해 [XII권 명제 3]과 [XII권 명제 4]에서 발생하는 상황을 처리하기 위해 특별히 고안되었다.
이 명제의 각기둥은 둘 다 삼각형이지만, 첫 번째 각기둥의 밑면은 측면에 있는 평행사변형 중 하나인 평행사변형
입체도형이 작도되면 두 배로 증가하여 동일한 높이와 동일한 밑면을 갖는 두 개의 평행육면체 만들어진다. 따라서 원래 각기둥도 평행육면체의 절반이므로 각기둥의 부피도 평행육면체의 부피의 절반으로 동일하다.