Proposition 39 of Book XI

명제 39

높이가 같은 두 각기둥에서, 하나는 밑면이 평행사변형이고 다른 하나는 밑면이 삼각형이며, 평행사변형의 넓이가 삼각형의 넓이의 두 배일 때 두 각기둥의 부피는 같다.

높이가 같은 두 각기둥 $A E F C - D B$ , $G H K - L M N 에 서$ , 각기둥 $A B E - C D F$ 의 밑면이 평행사변형 $A E F C$ 이고, 각 기둥 $G H K - L M N$ 의 밑면은 삼각형 $G H K$ 라고 하자. 그리고 평행사변형 $A E F C$ 의 넓이가 삼각형 $G H K$ 의 넓이의 두 배라고 하자. 그러면 두 각기둥 $A B E - C D F$ , $G H K - L M N$ 의 부피가 같다.

증명

높이가 같은 두 각기둥 $A E F C - D B$ , $G H K - L M N$ 에서, 각기둥 $A E F C - D B$ 의 밑면이 평행사변형 $A E F C$ 이고, 각 기둥 $G H K - L M N$ 의 밑면은 삼각형 $G H K$ 라고 하자. 그리고 (평행사변형 $A E F C$ 넓이) $= 2$ (삼각형 $G H K$ 넓이)이라고 하자.

그러면 (각기둥 $A E F C - D B$ 부피) $=$ (각기둥 $G H K - L M N$ 부피)임을 보이자.

두 평행육면체 $A E F C - B I O D$ 와 $G K J H - L N P M$ 을 작도하자.

(평행사변형 $A E F C$ 넓이) $= 2$ (삼각형 $G H K$ 넓이)이고 (평행사변형 $H G K I$ 넓이) $= 2$ (삼각형 $G H K$ 넓이)이므로[1권 명제34] (평행사변형 $A E F C$ 넓이) $=$ (평행사변형 $H G K I$ 넓이)이다.

그런데 밑면의 넓이가 같고 높이가 같은 평행육면체는 부피가 같다.[11권 명제31] 그러므로 (평행육면체 $A E F C - B I O D$ 부피) $=$ (평행육면체 $G K J H - L N P M$ 부피)이다. 그러므로 (각기둥 $A E F C - D B$ 부피) $= \frac{1}{2}$ (평행육면체 $A E F C - B I O D$ 부피)이며, (각기둥 $G K J H - L N P M$ 부피) $= \frac{1}{2}$ (평행육면체 $G K J H - L N P M$ 부피)이다. [11권 명제28] 그러므로 (각기둥 $A E F C - D B$ 부피) $=$ (각기둥 $G K J H - L N P M$ 부피)이다.

그러므로 높이가 같은 두 각기둥에서, 하나는 밑면이 평행사변형이고 다른 하나는 밑면이 삼각형이며, 평행사변형의 넓이가 삼각형의 넓이의 두 배일 때 두 각기둥의 부피는 같다.

Q.E.D.

부연설명

이 명제는 각기둥 부피에 관한 [XI권 명제 5]를 증명하기 위해 [XII권 명제 3]과 [XII권 명제 4]에서 발생하는 상황을 처리하기 위해 특별히 고안되었다.

이 명제의 각기둥은 둘 다 삼각형이지만, 첫 번째 각기둥의 밑면은 측면에 있는 평행사변형 중 하나인 평행사변형 $A C F E$ 로 놓고, 두 번째의 각기둥의 밑면은 아래쪽 끝에 있는 삼각형 $G H K$ 이다. 높이가 있다는 것은 꼭짓점 $B$ 에서 평행사변형 $A C E F$ 평면까지의 거리가 꼭짓점 $M$ 에서 삼각형 $G H K$ 평면까지의 거리와 같다는 것을 의미한다.

입체도형이 작도되면 두 배로 증가하여 동일한 높이와 동일한 밑면을 갖는 두 개의 평행육면체 만들어진다. 따라서 원래 각기둥도 평행육면체의 절반이므로 각기둥의 부피도 평행육면체의 부피의 절반으로 동일하다.