XI 권
명제
높이가 같은 두 각기둥에서, 하나는 밑면이 평행사변형이고 다른 하나는 밑면이 삼각형이며, 평행사변형의 넓이가 삼각형의 넓이의 두 배일 때 두 각기둥의 부피는 같다.
높이가 같은 두 각기둥 \(\rm AEFC-DB\), \(\rm GHK-LMN에서\), 각기둥 \(\rm ABE-CDF\)의 밑면이 평행사변형 \(\rm AEFC\)이고, 각 기둥 \(\rm GHK-LMN\)의 밑면은 삼각형 \(\rm GHK\)라고 하자. 그리고 평행사변형 \(\rm AEFC\)의 넓이가 삼각형 \(\rm GHK\)의 넓이의 두 배라고 하자. 그러면 두 각기둥 \(\rm ABE-CDF\), \(\rm GHK-LMN\)의 부피가 같다.
높이가 같은 두 각기둥 \(\rm AEFC-DB\), \(\rm GHK-LMN\)에서, 각기둥 \(\rm AEFC-DB\)의 밑면이 평행사변형 \(\rm AEFC\)이고, 각 기둥 \(\rm GHK-LMN\)의 밑면은 삼각형 \(\rm GHK\)라고 하자. 그리고 (평행사변형 \(\rm AEFC\) 넓이) \(=2\)(삼각형 \(\rm GHK\) 넓이)이라고 하자.
그러면 (각기둥 \(\rm AEFC-DB\) 부피) \(=\) (각기둥 \(\rm GHK-LMN\) 부피)임을 보이자.
두 평행육면체 \(\rm AEFC-BIOD\)와 \(\rm GKJH-LNPM\)을 작도하자.
(평행사변형 \(\rm AEFC\) 넓이) \(=2\) (삼각형 \(\rm GHK\) 넓이)이고 (평행사변형 \(\rm HGKI\) 넓이) \(=2\) (삼각형 \(\rm GHK\) 넓이)이므로[1권 명제34] (평행사변형 \(\rm AEFC\) 넓이) \(=\) (평행사변형 \(\rm HGKI\) 넓이)이다.
그런데 밑면의 넓이가 같고 높이가 같은 평행육면체는 부피가 같다.[11권 명제31] 그러므로 (평행육면체 \(\rm AEFC-BIOD\) 부피) \(=\) (평행육면체 \(\rm GKJH-LNPM\) 부피)이다. 그러므로 (각기둥 \(\rm AEFC-DB\) 부피) \(=\frac12\) (평행육면체 \(\rm AEFC-BIOD\) 부피)이며, (각기둥 \(\rm GKJH-LNPM\) 부피) \(=\frac12\) (평행육면체 \(\rm GKJH-LNPM\) 부피)이다. [11권 명제28] 그러므로 (각기둥 \(\rm AEFC-DB\) 부피) \(=\) (각기둥 \(\rm GKJH-LNPM\) 부피)이다.
그러므로 높이가 같은 두 각기둥에서, 하나는 밑면이 평행사변형이고 다른 하나는 밑면이 삼각형이며, 평행사변형의 넓이가 삼각형의 넓이의 두 배일 때 두 각기둥의 부피는 같다.
Q.E.D.
이 명제는 각기둥 부피에 관한 [XI권 명제 5]를 증명하기 위해 [XII권 명제 3]과 [XII권 명제 4]에서 발생하는 상황을 처리하기 위해 특별히 고안되었다.
이 명제의 각기둥은 둘 다 삼각형이지만, 첫 번째 각기둥의 밑면은 측면에 있는 평행사변형 중 하나인 평행사변형 \(\rm ACFE\)로 놓고, 두 번째의 각기둥의 밑면은 아래쪽 끝에 있는 삼각형 \(\rm GHK\)이다. 높이가 있다는 것은 꼭짓점 \(\rm B\)에서 평행사변형 \(\rm ACEF\) 평면까지의 거리가 꼭짓점 \(\rm M\)에서 삼각형\(\rm GHK\) 평면까지의 거리와 같다는 것을 의미한다.
입체도형이 작도되면 두 배로 증가하여 동일한 높이와 동일한 밑면을 갖는 두 개의 평행육면체 만들어진다. 따라서 원래 각기둥도 평행육면체의 절반이므로 각기둥의 부피도 평행육면체의 부피의 절반으로 동일하다.