IX 권
목차
두 닮은 평면수를 곱해서 만든 어떤 수는 제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\)가 닮은 평면수라고 하고 수 \(c\)를 \(c=a\cdot b\)라 하자. 그러면 \(c\)는 제곱수이다.
두 수의 곱이 제곱수라 하자. 그러면 그 두 수는 닮은 평면수이다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, 수 \(c\)는 \(c=a\cdot b\)라 하자. 그러면 두 수 \(a\), \(b\)는 닮은 평면수이다.
세제곱수에다 세제곱수를 곱한 수는 세제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\) 모두 세제곱수이다. 수 \(c\)는 \(c=a\cdot b\)이다. 그러면 \(c\)도 세제곱수이다.
세제곱수에다 어떤 수를 곱하였더니 세제곱수가 되었다. 그러면 그 곱한 어떤 수도 세제곱수이다.
수 \(a\)는 세제곱수이고 \(b\)는 어떤 수에 대하여, 수 \(c\)는 \(c=a\cdot b\)라 하자. 그리고 수 \(c\)가 세제곱수라 하자. 그러면 \(b\)도 세제곱수이다.
어떤 수의 제곱하였더니 세제곱수가 되었다. 그러면 그 어떤 수는 세제곱수이다.
어떤 수 \(a\)에 대하여, 수 \(b\)가 \(b=a^2\)이라 하고 \(b\)가 세제곱수라 하자. 그러면 \(a\)도 세제곱수이다.
합성수에 어떤 수를 곱한 수는 입체수이다.
합성수 \(a\), 어떤 수 \(b\)에 대하여 수 \(c\)를 \(c=a\cdot b\)라 하자. 그러면 \(c\)는 입체수이다.
단위수 \(1\)을 포함한 여러 개의 수들의 연속적이 비가 같다고 하자. 그러면 세 번째 항의 수는 제곱수이며 항의 번호를 \(2\)로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수는 제곱수이다. 그리고 네 번째 항의 수는 세제곱수이며 항의 번호를 \(3\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수는 세제곱수이다. 또한 일곱 번째 항의 수는 제곱수이며 동시에 세제곱수이다. 그리고 항의 번호를 \(6\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 항들의 수들 모두 제곱수이며 동시에 세제곱수이다.
단위수를 \(1\)이라 하고 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)에 대하여 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)의 연속적인 비가 같다고 하자. 그러면 세 번째 수 \(b\)는 제곱수이며 항의 번호를 \(2\)로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수는 제곱수이다. 그리고 네 번째 수 \(c\)는 세제곱수이며 항의 번호를 \(3\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수는 세제곱수이다. 또한 일곱 번째 수 \(f\)는 제곱수이며 동시에 세제곱수이다. 그리고 항의 번호를 \(6\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 항들의 수들 모두 제곱수이며 동시에 세제곱수이다.
단위수 \(1\)을 포함한 몇 개의 수들의 연속적인 비가 같다고 하자. 두 번째 수가 제곱수이면 나머지 수들 모두 제곱수이다. 그리고 두 번째 수가 세제곱수이면 나머지 수들 모두 세제곱수이다.
단위수를 \(1\)이라 하고 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)에 대하여 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)의 연속적인 비가 같다고 하자. 그리고 \(a\)가 제곱수라고 하면 나머지 수들도 모두 제곱수이다. 또한 \(a\)가 세제곱수이라 하면 나머지 수들도 모두 세제곱수이다.
단위수 \(1\)을 포함한 여러 개의 수들의 연속적이 비가 같다고 하자. 그러면 세 번째 항의 수는 제곱수가 아니면 항의 번호를 \(2\)로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수를 제외한 나머지 수들은 제곱수가 아니다. 그리고 네 번째 항의 수가 세제곱수가 아니면 항의 번호를 \(3\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수를 제외한 나머지 수들은 세제곱수가 아니다.
단위수 \(1\)을 포함한 여러 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)의 연속적인 비가 같다고 하자. 수열 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)에서 두 번째 수 \(a\)가 제곱수가 아니면 항의 번호를 \(2\)로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들을 뺀 나머지 수들은 제곱수가 아니다. 그리고 \(a\)가 세제곱수가 아니면 항의 번호를 \(3\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수들을 제외한 나머지 수들은 세제곱수가 아니다.
단위수를 포함한 몇 개의 수들의 연속적인 비가 같다. 그러면 몇 개의 수들 중 가장 작은 수는 가장 큰 수를 나누는데 그 몫은 비례하는 수들 중 하나와 같다.
단위수 \(a\)를 포함한 수 \(b\), \(c\), \(d\), \(e\)에 대하여, \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\)의 연속적이 비가 같다고 하자. 그러면 \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) 중 가장 작은 수 \(b\)는 \(e\)를 나누고 그 몫은 \(c\)와 \(d\) 중 하나와 같다.
단위수를 포함한 몇 개의 수의 연속적인 비가 같다고 하자. 단위수에서 세어서 위치에 있는 젯수가 피젯수를 나눈다고 하자. 그러면 그 몫은 피젯수에서 젯수까지의 거꾸로 위치 개수만큼 단위수에서 시작하여 그 갯수 만큼에 있는 수이다.
단위수를 포함한 몇 개의 수들의 연속적인 비가 같다고 하자. 그러면 소수가 마지막 수를 나누면 그 소수는 단위수 다음 수를 나눈다.
단위수 \(1\)과 몇 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비가 같다. 그러면 소수가 \(d\)를 나누면 그 소수는 \(a\)도 나눈다.
단위수를 포함한 몇 개수들의 연속적인 비가 같다. 그리고 단위수 다음의 수가 소수라고 하자. 그러면 가장 큰 수는 이 비례하는 수들로만 나누어지고, 다른 수로는 나누어질 수 없다.
단위수 \(1\)과 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비가 같다. 그리고 \(a\)가 소수라고 하자. 그러면 가장 큰 수 \(d\)는 \(a\), \(b\), \(c\)로만 나누어지고 다른 수들로는 나누어질 수 없다.
어떤 소수들로 나눌 수 있는 가장 작은 수는 그 소수들을 제외한 다른 어떤 소수들로 그 수를 나눌 수 없다.
어떤 소수 \(b\), \(c\), \(d\)로 나눌 수 있는 가장 작은 수를 \(a\)라 하자. 그러면 \(b\), \(c\), \(d\)를 제외한 어떤 소수도 \(a\)를 나눌 수 없다.
세 수들이 세 수들의 연속적인 비가 같으며 이 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수라고 하자. 그러면 이들 세 수 중 둘을 더한 것은 나머지 한 수와 서로소이다.
세 수 \(a\), \(b\), \(c\)는 \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같으며 이 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수라고 하자. 그러면 \(a\), \(b\), \(c\) 중 두 수를 더한 것은 나머지 한 수와 서로소이다. 즉, \(a+b\)와 \(c\)는 서로소, \(a+c\)와 \(b\)도 서로소, \(b+c\)와 \(a\)도 서로소이다.
두 수가 서로소이면 두 번째 수는 어떠한 수에 대해서도 첫 번째 수와 두 번째 수의 비와 같은 수가 없다.
두 수 \(a\), \(b\)가 서로소라고 하자. 그러면 \(b:c=a:b\)인 수 \(c\)가 존재하지 않는다.
몇 개수들의 연속적인 비가 같고, 양 끝이 수가 서로소라고 하자. 그러면 마지막 수는 어떠한 수에 대한 비는 첫 번째 수와 두 번째 수의 비와 같을 수 없다.
몇 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, 이 수들이 연속적인 비가 같고, \(a\), \(d\)가 서로소라고 하자. 그러면 \(d:e=a:b\)인 수 \(e\)가 존재하지 않는다.
주어진 세 수에 대하여, 이 세 수와 비례하는 네 번째 수를 찾을 수 있다.
주어진 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(a:b=c:e\)인 네 번째 수 \(e\)를 찾을 수 있다.
몇 개의 짝수를 더한 수도 짝수이다.
짝수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm DE}\)에 대하여, 수 \(\overline{\rm AE}\)를 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}+\overline{\rm CD}+\overline{\rm DE}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AE}\)도 짝수이다.
짝수 개의 홀수들을 더한 수는 짝수이다.
짝수 개 홀수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm DE}\)가 있다. 수 \(\overline{\rm AE}\)를 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}+\overline{\rm CD}+\overline{\rm DE}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AE}\)는 짝수이다.
홀수 개의 홀수들의 합은 홀수이다.
홀수 개의 홀수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\)가 있다. 수 \(\overline{\rm AD}\)를 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}+\overline{\rm CD}+\overline{\rm ED}\)이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AD}\)는 홀수이다.
짝수에서 짝수를 빼면 짝수이다.
\(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC}\)인 두 짝수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)가 있다. 그리고 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BC}\)이라 하자. 그러면 수 \(\overline{\rm AC}\)는 짝수이다.
짝수에서 홀수를 빼면 홀수이다.
\(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC}\)인 짝수 \(\overline{\rm AB}\), 홀수 \(\overline{\rm BC}\)가 있다. 수 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BC}\)이다. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 홀수이다.
홀수에서 홀수를 뺀 수는 짝수이다.
\(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC}\)인 두 홀수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여, 수 \(\overline{\rm AC}\)는 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BC}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 짝수이다.
홀수에서 짝수를 뺀 수는 홀수이다.
\(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC}\)인 홀수 \(\overline{\rm AB}\), 짝수 \(\overline{\rm BC}\)가 있다. 수 \(\overline{\rm AC}\)는 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BC}\)이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 홀수이다.
어떤 홀수가 어떤 짝수를 나누면, 그 홀수는 그 짝수의 절반의 수도 나눈다.
홀수 \(a\)가 짝수 \(b\)를 나눈다. 그러면 \(a\)는 수 \(b\)의 절반인 수도 나눈다.
어떤 홀수가 어떤 수와 서로소이면 그 홀수는 그 수의 \(2\)배와도 서로소이다.
홀수 \(a\)와 수 \(b\)는 서로소이고 수 \(c\)를 \(c=2b\)라 하자. 그러면 \(a\), \(c\)도 서로소이다.
처음 수가 \(2\)이고 계속해서 \(2\)배씩 수를 늘려가자. 이들 수들은 모두 짝수들의 곱의 형태로만 이루어져 있다.
수 \(a\)는 \(a=2\)이고, 수 \(b\), \(c\), \(d\)를 \(b=2a\), \(c=2b\), \(d=2c\)라 하자. 그러면 \(b\), \(c\), \(d\)는 짝수의 곱 형태로 만 이루어져 있다.
어떤 수의 절반이 홀수라 하자. 그 어떤 수는 짝수와 홀수의 곱 형태로만 이루어져있다.
어떤 수 \(a\)에 대하여, \(\frac a2\)가 홀수라고 하자. 그러면 \(a\)는 짝수와 홀수의 곱 형태로만 이루어져 있다.
어떤 수는 \(2\)에서 시작해서 계속해서 \(2\)를 곱한 수가 아니고, 그 수의 절반이 홀수도 아니라고 하자. 그러면 그 수는 짝수와 짝수의 곱 형태이면서 동시에 짝수와 홀수의 곱 형태이다.
수 \(a\)는 \(2\)의 거듭제곱의 수가 아니고, \(\frac a2\)도 홀수가 아니라고 하자. 그러면 \(a\)는 짝수와 짝수의 곱 형태이면서 동시에 짝수와 홀수의 곱 형태이다.
몇 개 수들의 연속적인 비가 같다고 하자. 두 번째 수에서 첫 번째 수를 뺀 수와 첫 번째 수의 비는 마지막 수에서 첫 번째 수를 뺀 수와 첫 번째 수로 부터 마지막 전의 수까지의 합의 비는 같다.
몇 개의 수 \(a\), \(\overline{\rm BC}\), \(d\), \(\overline{\rm EF}\)가 있다. \(a\)가 가장 작은 수라고 하자. 두 수 \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm FH}\)는 \(\overline{\rm BG}=\overline{\rm FH}=a\)라 하고, 수 \(\overline{\rm GC}\)는 \(\overline{\rm GC}=\overline{\rm BC}-\overline{\rm BG}\)이고, 수 \(\overline{\rm EH}\)는 \(\overline{\rm EH}=\overline{\rm EF}-\overline{\rm FH}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm GC}:a=\overline{\rm EH}:\left(a+\overline{\rm BC}+d\right)\)이다.
단위수 \(1\)로 시작해서 \(2\)를 계속해서 곱해서 몇 개의 수를 만들자. 이들 수들이 합이 소수라고 하자. 그러면 합에다 마지막 수를 곱한 수는 완전수이다.
첫째항이 단위수 \(1\)이고 공비가 \(2\)인 수 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)를 만들자. 그리고 \(1+a+b+c+d\)는 소수라고 하자. 그리고 수 \(e\)를 \(e=1+a+b+c+d\)라고 하고, 수 \(\overline{\rm FG}\)를 \(\overline{\rm FG}=e\cdot d\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm FG}\)는 완전수이다.