IX 권
명제
명제 30
어떤 홀수가 어떤 짝수를 나누면, 그 홀수는 그 짝수의 절반의 수도 나눈다.
홀수 \(a\)가 짝수 \(b\)를 나눈다. 그러면 \(a\)는 수 \(b\)의 절반인 수도 나눈다.
IX 권
명제
어떤 홀수가 어떤 짝수를 나누면, 그 홀수는 그 짝수의 절반의 수도 나눈다.
홀수 \(a\)가 짝수 \(b\)를 나눈다. 그러면 \(a\)는 수 \(b\)의 절반인 수도 나눈다.
홀수 \(a\)가 짝수 \(b\)를 나눈다.
그러면 \(a\)는 수 \(b\)의 절반인 수도 나눔을 보여야 한다.
\(a\)가 \(b\)를 나누므로 수 \(c\)를 \(\frac ba=c\)라 하자. 그러면 \(c\)가 홀수가 아님을 보이자.
만약 \(c\)가 홀수라고 하자. \(\frac ba=c\)이므로 \(a\cdot c=b\)이다. 그러므로 \(b\)는 홀수들의 합이다. 그러므로 \(b\)는 홀수이다. [IX권 명제 23]
그런데 \(b\)가 짝수라는 가정에 모순이다. 그러므로 \(c\)는 홀수가 아니며 짝수이다.
따라서 \(\frac ba=c\)인 수 \(c\)는 짝수이다. 그러므로 \(a\)는 \(b\)의 절반도 나눈다.
그러므로 어떤 홀수가 어떤 짝수를 나누면, 그 홀수는 그 짝수의 절반의 수도 나눈다.
Q.E.D.
이 명제는 다음 명제에서 만 사용된다.