Proposition 30 of Book IX

IX 권

명제

어떤 홀수가 어떤 짝수를 나누면, 그 홀수는 그 짝수의 절반의 수도 나눈다.

홀수 $a$ 가 짝수 $b$ 를 나눈다. 그러면 $a$ 는 수 $b$ 의 절반인 수도 나눈다.

홀수 $a$ 가 짝수 $b$ 를 나눈다.

그러면 $a$ 는 수 $b$ 의 절반인 수도 나눔을 보여야 한다.

$a$ 가 $b$ 를 나누므로 수 $c$ 를 $\frac{b}{a} = c$ 라 하자. 그러면 $c$ 가 홀수가 아님을 보이자.

만약 $c$ 가 홀수라고 하자. $\frac{b}{a} = c$ 이므로 $a \cdot c = b$ 이다. 그러므로 $b$ 는 홀수들의 합이다. 그러므로 $b$ 는 홀수이다. [IX권 명제 23]

그런데 $b$ 가 짝수라는 가정에 모순이다. 그러므로 $c$ 는 홀수가 아니며 짝수이다.

따라서 $\frac{b}{a} = c$ 인 수 $c$ 는 짝수이다. 그러므로 $a$ 는 $b$ 의 절반도 나눈다.

그러므로 어떤 홀수가 어떤 짝수를 나누면, 그 홀수는 그 짝수의 절반의 수도 나눈다.

Q.E.D.