IX 권
명제
단위수 \(1\)을 포함한 몇 개의 수들의 연속적인 비가 같다고 하자. 두 번째 수가 제곱수이면 나머지 수들 모두 제곱수이다. 그리고 두 번째 수가 세제곱수이면 나머지 수들 모두 세제곱수이다.
단위수를 \(1\)이라 하고 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)에 대하여 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)의 연속적인 비가 같다고 하자. 그리고 \(a\)가 제곱수라고 하면 나머지 수들도 모두 제곱수이다. 또한 \(a\)가 세제곱수이라 하면 나머지 수들도 모두 세제곱수이다.
단위수를 \(1\)이라 하고 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)에 대하여 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)의 연속적인 비가 같다고 하자. 그리고 \(a\)가 제곱수라고 하면 나머지 수들도 모두 제곱수임을 보여야 한다. 또한 \(a\)가 세제곱수이라 하면 나머지 수들도 모두 세제곱수임을 보여야 한다.
1) \(a\)가 제곱수라고 하면 나머지 수들도 모두 제곱수임을 보이자.
수 \(b\)는 제곱수이다. 또한 수 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)의 세 번째 수 \(b\) 제곱수이면 항의 번호를 \(2\)로 나누어서 나머지가 \(1\)인 수 \(d\), \(f\) 모두 제곱수이다. [IX권 명제 8]
나머지 수들 \(c\), \(e\)도 제곱수임을 보이자.
\(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같고, \(a\)가 제곱수이므로 \(c\)도 제곱수이다. [VIII권 명제 22] 그런데 \(b\), \(c\), \(d\) 또한 연속적인 비가 같고 \(b\)가 제곱수이므로 \(d\)도 제곱수이다. [VIII권 명제 22] 같은 논리로 나머지 수들 모두 제곱수임을 보일 수 있다.
2) \(a\)가 세제곱수이라 하자. 그러면 나머지 수들도 모두 세제곱수임을 보여야 한다.
네 번째 수 \(c\)가 세제곱수 이며 항의 번호를 \(3\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 수 \(f\) 모두 세제곱수이다. [IX권 명제 8]
나머지 수 \(b\), \(d\), \(e\)가 세제곱수임을 보이자.
\(1:a=a:b\)이다. 그리고 \(\frac a1=\frac ba\)이다. 그런데 \(\frac a1=a\)이므로 \(\frac ba=a\)이다. 따라서 \(b=a\cdot a\)이다. 그런데 \(a\)는 세제곱수이다. 세제곱수의 제곱수는 세제곱수이다. [IX권 명제 3] 그러므로 \(b\) 또한 세제곱수이다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비가 같고 \(a\)가 세제곱수이므로 \(d\)도 세제곱수이다. [VIII권 명제 23] 같은 논리로 \(e\)도 세제곱수이다. 도한 나머지 수들도 모두 세제곱수임을 보일 수 있다.
그러므로 단위수 \(1\)을 포함한 몇 개의 수들의 연속적인 비가 같다고 하자. 두 번째 수가 제곱수이면 나머지 수들 모두 제곱수이다. 그리고 두 번째 수가 세제곱수이면 나머지 수들 모두 세제곱수이다.
Q.E.D.
이 명제는 간단히 말하면 제곱수이 거듭제곱은 제곱수이고 세제곱수의 거듭제곱은 세제곱수이다.
다름 명제는 이 명제의 역이다.