IX 권
명제
명제 34
어떤 수는 \(2\)에서 시작해서 계속해서 \(2\)를 곱한 수가 아니고, 그 수의 절반이 홀수도 아니라고 하자. 그러면 그 수는 짝수와 짝수의 곱 형태이면서 동시에 짝수와 홀수의 곱 형태이다.
수 \(a\)는 \(2\)의 거듭제곱의 수가 아니고, \(\frac a2\)도 홀수가 아니라고 하자. 그러면 \(a\)는 짝수와 짝수의 곱 형태이면서 동시에 짝수와 홀수의 곱 형태이다.
IX 권
명제
어떤 수는 \(2\)에서 시작해서 계속해서 \(2\)를 곱한 수가 아니고, 그 수의 절반이 홀수도 아니라고 하자. 그러면 그 수는 짝수와 짝수의 곱 형태이면서 동시에 짝수와 홀수의 곱 형태이다.
수 \(a\)는 \(2\)의 거듭제곱의 수가 아니고, \(\frac a2\)도 홀수가 아니라고 하자. 그러면 \(a\)는 짝수와 짝수의 곱 형태이면서 동시에 짝수와 홀수의 곱 형태이다.
수 \(a\)는 \(2\)의 거듭제곱의 수가 아니고, \(\frac a2\)도 홀수가 아니라고 하자.
그러면 \(a\)는 짝수와 짝수의 곱 형태이면서 동시에 짝수와 홀수의 곱 형태임을 보여야 한다.
\(a\)가 짝수와 짝수의 곱 형태인 것은 자명하다. 왜냐하면 \(\frac a2\)가 홀수가 아니기 때문이다. [VII권 정의 8]
\(a\)가 짝수와 홀수의 곱 형태임을 보이자.
\(\frac a2\), \(\frac a{2^2}\), \(\frac a{2^3}\), \(\cdots\) 구하자. 마지막 수는 홀수이다. 그러면 그 홀수는 \(a\)를 나눈다. 왜냐하면 마지막 수가 홀수가 아니라면 \(a\)를 그 홀수로 나누면 짝수가 되므로 결국 마지막 수는 \(2\)이다. \(a\)를 \(2\)에서 시작해서 \(2\)를 계속해서 곱한 수이다. 그러므로 이것은 모순이다.
그러므로 \(a\)는 짝수와 홀수의 곱 형태이다. 그런데 \(a\)는 짝수와 짝수의 곱 형태임을 보였다.
그러므로 \(a\)는 짝수와 짝수의 곱 형태이면서 동시에 짝수와 홀수의 곱 형태이다.
그러므로 어떤 수는 \(2\)에서 시작해서 계속해서 \(2\)를 곱한 수가 아니고, 그 수의 절반이 홀수도 아니라고 하자. 그러면 그 수는 짝수와 짝수의 곱 형태이면서 동시에 짝수와 홀수의 곱 형태이다.
Q.E.D.
짝수와 짝수 곱 형태이면서 동시에 짝수와 홀수 곱의 형태인 수는 모두 \(4\)와 홀수로 나누어진다. 그 수들은 \(2\)의 거듭제곱을 뺀 절반의 숫자이다.