IX 권
명제
짝수 개의 홀수들을 더한 수는 짝수이다.
짝수 개 홀수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm DE}\)가 있다. 수 \(\overline{\rm AE}\)를 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}+\overline{\rm CD}+\overline{\rm DE}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AE}\)는 짝수이다.
짝수 개 홀수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm DE}\)가 있다. 수 \(\overline{\rm AE}\)를 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}+\overline{\rm CD}+\overline{\rm DE}\)라 하자.
그러면 \(\overline{\rm AE}\)는 짝수임을 보이자.
각각 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm DE}\)가 홀수이므로 각각의 수에서 단위수를 빼면 짝수이다. [VII권 정의 7]
그리고 그 수들을 더한 것은 짝수이다. [IX권 명제 21] 그런데 각각의 수에서 뺀 단위수들의 개수도 짝수개이다. 그러므로 전체 \(\overline{\rm AE}\)도 또한 짝수이다. [IX권 명제 21]
그러므로 짝수 개의 홀수들을 더한 수는 짝수이다.
Q.E.D.
증명에서 중요한 단계는 홀수에서 단위수 \(1\)을 빼면 나머지가 짝수라는 주장이다. 이것은[VII권 정의 7]에서 언급되었지만 결코 증명되지 않았다.
이 명제는 다음 명제에서 사용된다.