IX 권
명제
명제 5
세제곱수에다 어떤 수를 곱하였더니 세제곱수가 되었다. 그러면 그 곱한 어떤 수도 세제곱수이다.
수 \(a\)는 세제곱수이고 \(b\)는 어떤 수에 대하여, 수 \(c\)는 \(c=a\cdot b\)라 하자. 그리고 수 \(c\)가 세제곱수라 하자. 그러면 \(b\)도 세제곱수이다.
IX 권
명제
세제곱수에다 어떤 수를 곱하였더니 세제곱수가 되었다. 그러면 그 곱한 어떤 수도 세제곱수이다.
수 \(a\)는 세제곱수이고 \(b\)는 어떤 수에 대하여, 수 \(c\)는 \(c=a\cdot b\)라 하자. 그리고 수 \(c\)가 세제곱수라 하자. 그러면 \(b\)도 세제곱수이다.
수 \(a\)는 세제곱수이고 \(b\)는 어떤 수에 대하여 수 \(c\)는 \(c=a\cdot b\)라 하자. 그리고 수 \(c\)가 세제곱수라 하자.
그러면 \(b\)도 세제곱수임을 보여야 한다.
수 \(d\)는 \(d=a\cdot a\)라 하자. 그러면 \(d\)는 세제곱수이다. [IX권 명제 3]
\(d=a\cdot a\)이고 \(c=a\cdot b\)이므로 \(a:b=d:c\)이다. [VII권 명제 17]
\(d\), \(c\)가 세제곱수이므로 \(d\), \(c\)는 닮은 입체수이다. 그러므로 \(d\), \(c\) 사이에는 두 개의 비례 중항이 있다. [VIII권 명제 19]
그런데 \(d:c=a:b\)이다. 그러므로 \(a\), \(b\) 사이에도 두 개의 비례 중항이 존재한다. [VIII권 명제 8]
그런데 \(a\)가 세제곱수이므로 \(b\)도 세제곱수이다. [VIII권 명제 23]
그러므로 세제곱수에다 어떤 수를 곱하였더니 세제곱수가 되었다. 그러면 그 곱한 어떤 수도 세제곱수이다.
Q.E.D.
이전 명제는 다음과 나타낼 수 있다.
\(a\), \(b\)가 세제곱수이며 \(c=a\cdot b\)이라 하자. 그러면 \(c\)는 세제곱수이다.
이 명제는 이전 명제의 역으로 다음과 나타낼 수 있다.
\(a\), \(c\)가 세제곱수이며, \(a\cdot b=c\)이라 하자. 그러면 \(b\)는 세제곱수이다.