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증명

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두 수 \(a\), \(b\)가 닮은 평면수라고 하고 수 \(c\)를 \(c=a\cdot b\)라 하자.

그러면 \(c\)는 제곱수임을 보여야 한다.

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수 \(d\)를 \(d=a\cdot a\)라 하자. 그러면 \(d\)는 제곱수이다.

\(d=a\cdot a\)이고 \(c=a\cdot b\)이므로 \(a:b=d:c\)이다. [VII권 명제 17]

두 수 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항이 한 개가 있다. [VIII권 명제 18]

서로 다른 두 수 사이에 연속적인 비가 일정하도록 여려 개의 수를 넣었다고 하자. 또 다른 두 수가 서로 다른 두 수의 비와 같으면 그 다른 두 수 사이에도 이전과 같은 개수로 연속적인 비가 같도록 수를 넣을 수 있다. [VIII권 명제 8]

그러므로 \(d\), \(c\) 사이도 비례 중항이 한 개가 있다.

그런데 \(d\)는 제곱수이다. 그러므로 \(c\)도 제곱수이다. [VIII권 명제 22]

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그러므로 두 닮은 평면수를 곱해서 만든 어떤 수는 제곱수이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제의 예를 들어보자.

\(a=18\), \(b=8\)이라고 하면, \(18\)과 \(8\)의 비례 중항 \(12\)가 존재한다. 따라서 \(c=a\cdot b=18\cdot 8=12^2\)으로 \(c\)는 제곱수이다.

이 명제를 다르게 증명할 수 있다.

두 닮은 평면수 \(a\), \(b\)에 대하여, 수 \(c\)를 \(c=a\cdot b\)라 하자. 두 수 \(a\), \(b\) 사이에 비례 중항이 한 개 존재한다. [VIII권 명제 18] \(a:b=a^2:ab\)이므로 두 수 \(a^2\), \(ab\) 사이에도 비례 중항이 한 개 존재한다. [VIII권 명제 1] 그런데 \(a^2\)은 제곱수이므로 \(ab\)도 역시 제곱수이어야 한다. [VIII권 명제 22] 그러므로 두 닮은 평면수의 곱은 제곱수이다.

이 명제를 대수적으로도 간단히 증명할 수도 있다.

두 수 \(a\), \(b\)가 닮은 평면수라 하고 수 \(c\)를 \(c=a\cdot b\)라 하자. 그러면 \(a=d\cdot e \), \(b=f\cdot g\)이고 \(d:e=f:g\)인 네 수 \(d\), \(e\), \(f\), \(g\)가 존재한다. 따라서 \(d\cdot g = e \cdot f\)이다. 그러므로 \(c=a\cdot b= \left( d \cdot e \right)\cdot \left(f \cdot g \right)= \left( d\cdot g \right)\cdot \left(f \cdot e \right)=\left(d\cdot g \right)^2 \)이다. 그러므로 \(c=\left( d \cdot g \right)^2\)이므로 수 \(c\)는 제곱수이다.

[IX권 명제 2]는 이 명제의 역이다. 이 명제는 [X권 명제 29]에서 사용된다.