IX 권
명제
명제 4
세제곱수에다 세제곱수를 곱한 수는 세제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\) 모두 세제곱수이다. 수 \(c\)는 \(c=a\cdot b\)이다. 그러면 \(c\)도 세제곱수이다.
IX 권
명제
세제곱수에다 세제곱수를 곱한 수는 세제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\) 모두 세제곱수이다. 수 \(c\)는 \(c=a\cdot b\)이다. 그러면 \(c\)도 세제곱수이다.
두 수 \(a\), \(b\) 모두 세제곱수이다. 수 \(c\)는 \(c=a\cdot b\)이다.
그러면 \(c\)도 세제곱수임을 보여야 한다.
수 \(d=a\cdot a\)이라 하자. 그러면 \(d\)는 세제곱수이다. [IX권 명제 1]
\(d=a\cdot a\)이고 \(c=a\cdot b\)이므로 \(a:b=d:c\)이다. [VII권 명제 17]
\(a\), \(b\)는 세제곱수이므로 \(a\), \(b\)는 닮은 입체수이다. 그러므로 \(a\), \(b\) 사이에는 두 개의 비례 중항이 있다. [VIII권 명제 19]
따라서 \(d\), \(c\) 사이에도 두 개의 비례 중항이 존재한다. [VIII권 명제 8]
그런데 \(d\)는 세제곱수이다. 그러므로 \(c\)도 세제곱수이다. [VIII권 명제 23]
그러므로 세제곱수에다 세제곱수를 곱한 수는 세제곱수이다.
Q.E.D.
이 명제를 대수적으로 표현 하면 두 세제곱수 \(m^3\), \(n^3\)의 곱은 \(m^3n^3=\left(mn\right)^3\)이다.