IX 권
명제
명제 32
처음 수가 \(2\)이고 계속해서 \(2\)배씩 수를 늘려가자. 이들 수들은 모두 짝수들의 곱의 형태로만 이루어져 있다.
수 \(a\)는 \(a=2\)이고, 수 \(b\), \(c\), \(d\)를 \(b=2a\), \(c=2b\), \(d=2c\)라 하자. 그러면 \(b\), \(c\), \(d\)는 짝수의 곱 형태로 만 이루어져 있다.
IX 권
명제
처음 수가 \(2\)이고 계속해서 \(2\)배씩 수를 늘려가자. 이들 수들은 모두 짝수들의 곱의 형태로만 이루어져 있다.
수 \(a\)는 \(a=2\)이고, 수 \(b\), \(c\), \(d\)를 \(b=2a\), \(c=2b\), \(d=2c\)라 하자. 그러면 \(b\), \(c\), \(d\)는 짝수의 곱 형태로 만 이루어져 있다.
수 \(a\)는 \(a=2\)이고, 수 \(b\), \(c\), \(d\)를 \(b=2a\), \(c=2b\), \(d=2c\)라 하자.
그러면 \(b\), \(c\), \(d\)는 짝수의 곱 형태로 만 이루어져 있음을 보여야 한다.
\(b\), \(c\), \(d\)는 짝수의 곱 형태인 것은 자명하다. 왜냐하면 \(2\)를 계속해서 곱해서 만들었기 때문이다.
이제 이 수들이 짝수의 곱 형태로만 이루어져있음을 보이자.
단위수를 \(1\)이라 하자. 수 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비는 같다. 즉, \(1:a=a:b=b:c=c:d\)이다.
그리고 단위수 \(1\) 다음 수 \(a(=2)\)로 소수이므로, \(a\), \(b\), \(c\)를 제외한 다른 어떤 수로도 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) 중 가장 큰 수 \(d\)를 나눌 수 없다. [IX권 명제 13]
그리고 모든 수 \(a\), \(b\), \(c\)가 모두 짝수이다. 그러므로 \(d\)는 짝수 곱의 형태로만 되어있다. [VII권 정의 8]
같은 방법으로 \(b\), \(c\)들도 짝수 곱의 형태로만 되어 있음을 보일 수 있다.
그러므로 처음 수가 \(2\)이고 계속해서 \(2\)배씩 수를 늘려가자. 이들 수들은 모두 짝수들의 곱으로 되어 있다.
Q.E.D.
짝수와 짝수의 곱의 수는 \(2\)의 거듭제곱(\(4\), \(8\), \(16\), \(32\), \(\cdots\))이다.
이 명제의 다른 증명은 [IX권 명제 13] 대신 [IX권 명제 30]을 사용 하는 것이다.
홀수가 \(d\)를 나눌 수 있다면 [IX권 명제 30]으로 홀수가 \(\frac d2(=c)\)도 나눌 것이다. \(\frac c2(=b)\), \(\frac b2(=a)\)도 나눌 것이고, 즉, \(a\)도 나눈다. 홀수가 짝수는 나눈다는 것은 모순이다. 이 대체 증명에서 언급된 귀납법은 [IX권 명제 30]의 증명에서 사용된 귀납법보다 훨씬 간단하다.