IX 권
명제
단위수를 포함한 몇 개의 수들의 연속적인 비가 같다. 그러면 몇 개의 수들 중 가장 작은 수는 가장 큰 수를 나누는데 그 몫은 비례하는 수들 중 하나와 같다.
단위수 \(a\)를 포함한 수 \(b\), \(c\), \(d\), \(e\)에 대하여, \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\)의 연속적이 비가 같다고 하자. 그러면 \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) 중 가장 작은 수 \(b\)는 \(e\)를 나누고 그 몫은 \(c\)와 \(d\) 중 하나와 같다.
단위수 \(a\)를 포함한 수 \(b\), \(c\), \(d\), \(e\)에 대하여, a, \(b\), \(c\), \(d\), \(e\)의 연속적이 비가 같다고 하자.
그러면 \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) 중 가장 작은 수 \(b\)는 \(e\)를 나누고 그 몫은 \(c\)와 \(d\) 중 하나와 같음을 보여야 한다.
\(a:b=d:e\)이므로 \(\frac ba=\frac ed\)이다. 그러므로 바꾼 비례식 \(a:d=b:e\)이므로 \(\frac da=\frac eb\)이다. [VII권 명제 15]
그런데 d/a=d이므로 e/b=d/a=d이다. 그러므로 b는 e를 나누고 그 몫은 비례 하는 수 d와 같다.
그러므로 단위수를 포함한 몇 개의 수들의 연속적인 비가 같다. 그러면 몇 개의 수들 중 가장 작은 수는 가장 큰 수를 나누는데 그 몫은 비례하는 수들 중 하나와 같다.
Q.E.D.
단위수를 포함한 몇 개의 수의 연속적인 비가 같다고 하자. 단위수에서 세어서 위치에 있는 젯수가 피젯수를 나눈다고 하자. 그러면 그 몫은 피젯수에서 젯수까지의 거꾸로 위치 개수만큼 단위수에서 시작하여 그 갯수 만큼에 있는 수이다.
이 명제는 대수적으로 간단히 나타내면 다음과 같다.
수 \(n\)에 대하여, 수 \(k\)는 \(k< n\)이라 하자. 그러면 밑 \(a\)에 대하여, \(\frac {a^n}{a^k}=a^{n-k}\)이다.
이 명제는 다음 명제에서 사용된다.