IX 권
명제
명제 18
두 수에 대하여, 이들과 비례하는 세 번째 수를 찾을 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a:b=b:c\)인 수 \(c\)를 찾을 수 있다.
IX 권
명제
두 수에 대하여, 이들과 비례하는 세 번째 수를 찾을 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a:b=b:c\)인 수 \(c\)를 찾을 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a:b=b:c\)인 수 \(c\)를 찾을 수 있음을 보여야 한다.
두 수 \(a\), \(b\)는 서로소이거나 서로소가 아니다.
1) 두 수 \(a\), \(b\)는 서로소라고 하자. 그러면 \(a:b=b:c\)인 수 \(c\)를 찾을 수 없다. [IX권 명제 16]
2) 두 수 \(a\), \(b\)가 서로소가 아니라고 하자.
수 \(c\)를 \(c=b\cdot b\)라 하자. 그러면 \(a\)는 \(c\)를 나누거나 나누지 못한다.
\(a\)가 \(c\)를 나눈다고 하자. 그리고 수 \(d\)를 \(\frac ca=d\)라 하자. 그러면 \(c=a\cdot d\)이다. 그런데 \(c=b\cdot b\)이다. 그러므로 \(a\cdot d=b\cdot b\)이다. 그러므로 \(a:b=b:d\)이다. [VII권 명제 19] 그러므로 \(a:b=b:d\)인 수 \(d\)가 존재한다.
\(a\)가 \(c\)를 나누지 못한다고 하자. 그러면 \(a:b=b:c\)인 수 \(c\)가 존재하지 못함을 보이자.
만약 \(a:b=b:c\)인 수 \(c\)가 존재한다고 하자. 그러면\(b=a\cdot d\)이다. 그런데 \(c=b\cdot b\)이다. 그러므로 \(a\cdot d=c\)이다. 그러므로 \(\frac ac=d\)이다. 그런데 \(a\)는 \(c\)를 나눌 수 없다. 이것은 모순이다. 그러므로 \(a\)가 \(c\)를 나누지 못하면 \(a:b=b:c\)인 수 \(c\)가 존재하지 않는다.
그러므로 두 수에 대하여, 이들과 비례하는 세 번째 수를 찾을 수 있다.
Q.E.D.
\(a:b=b:d\)를 만족하는 수 \(d\)가 존재한다고 하자. 그러면 \(d=\frac{b^2}a\)이다. 그래서 \(a\)는 \(b^2\)을 나누어야 한다.