애플릿

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증명

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그러면 \(d:e=a:b\)인 수 \(e\)가 존재하지 않음을 보여야 한다.

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몇 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, 이 수들이 연속적인 비가 같고, \(a\), \(d\)가 서로소라고 하자.

\(d:e=a:b\)인 수 \(e\)가 존재한다고 하자. 그러므로 바꾼 비례식에 의해서 \(a:d=b:e\)이다. [VII권 명제 13]

그런데 \(a\), \(d\)는 서로소이다.

서로소인 수들은 비가 같은 수들 중에서 가장 작은 수이며 [VII권 명제 21], 비율이 같은 다른 수들 비는 가장 작은 수들의 비의 배수이다. 즉 큰 수는 큰 수의 배수이고 작은 수는 작은 수의 배수이며, 전자는 전자를 후자는 후자를 똑 같은 배수가 된다. [VII권 명제 20]

그러므로 \(a\)는 \(b\)를 나눈다.

그런데 \(a:b=b:c\)이다. 그러므로 \(b\)는 \(c\)를 나눈다. 그러므로 \(a\)도 또한 \(c\)를 나눈다.

그런데 \(b:c=c:d\)이며 \(b\)가 \(c\)를 나누므로 \(c\)는 \(d\)를 나눈다.

그런데 \(a\)는 \(c\)를 나눈다. 그러므로 \(a\) 또한 \(d\)를 나눈다. 그런데 \(a\)는 자신 \(a\)를 나눈다. 그러므로 \(a\)는 \(a\), \(d\)를 나눈다. 그런데 \(a\), \(d\)는 서로소이므로 이것은 모순이다.

그러므로 \(d:e=a:b\)인 수 \(e\)가 존재하지 않는다.

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그러므로 몇 개수들의 연속적인 비가 같고, 양 끝이 수가 서로소라고 하자. 그러면 마지막 수는 어떠한 수에 대한 비는 첫 번째 수와 두 번째 수의 비와 같을 수 없다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이전 명제의 두 수의 비를 여러 개의 비로 확장한 것이다. 그러므로 가장 작은 연속적인 비는 확장할 수 없다.

\(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 연속적인 비가 같고 \(a\), \(d\)가 서로소라고 하자.

\(a:b=d:e\)인 수 \(e\)가 존재한다고 하자. 그러면 바꾼 비례식에 의해서 \(a:d=b:e\)이다. \(a\), \(d\)가 서로소이므로 \(a\), \(d\)는 \(a:d\)와 같은 비를 같은 수들 중서 가장 작은 수이다. 그리고 연속적인 비가 같으므로 \(a\)는 \(b\)를 나눈다. 그러므로 연속적인 비에 의해서 \(a\)는 \(d\)를 나눈다. 그런데 \(a\), \(d\)가 서로소이므로 이는 모순이다.