애플릿

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증명

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몇 개의 수 \(a\), \(\overline{\rm BC}\), \(d\), \(\overline{\rm EF}\)가 있다. \(a\)가 가장 작은 수라고 하자. 두 수 \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm FH}\)는 \(\overline{\rm BG}=\overline{\rm FH}=a\)라 하고, 수 \(\overline{\rm GC}\)는 \(\overline{\rm GC}=\overline{\rm BC}-\overline{\rm BG}\)이고, 수 \(\overline{\rm EH}\)는 \(\overline{\rm EH}=\overline{\rm EF}-\overline{\rm FH}\)라 하자.

그러면 \(\overline{\rm GC}:a=\overline{\rm EH}:\left(a+\overline{\rm BC}+d\right)\)임을 보이자.

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수 \(\overline{\rm FK}\)를 \(\overline{\rm FK}=\overline{\rm BC}\)라 하고, 수 \(\overline{\rm FL}\)을 \(\overline{\rm FL}=d\)라 하자.

\(\overline{\rm FK}=\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm FH}=\overline{\rm BG}\)이므로 \(\overline{\rm HK}=\overline{\rm FK}-\overline{\rm FH}=\overline{\rm BC}-\overline{\rm BG}=\overline{\rm GC}\)이므로 \(\overline{\rm HK}=\overline{\rm GC}\)이다.

\(\overline{\rm EF}:d=d:\overline{\rm BC}=\overline{\rm BC}:a\)이다. \(d=\overline{\rm FL}\), \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm FK}\), \(a=\overline{\rm FH}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm EF}:\overline{\rm FL}=\overline{\rm LF}:\overline{\rm FK}=\overline{\rm FK}:\overline{\rm FH}\)이다.

뺀 비례식에 의해서 \(\overline{\rm EL}:\overline{\rm LF}=\overline{\rm LK}:\overline{\rm FK}=\overline{\rm KH}:\overline{\rm FH}\)이다. [VII권 명제 11, 13]

한 전자와 한 후자의 비는 전자들을 모두 더한 것과 후자의 모두 더한 것과의 비와 같다. [VII권 명제 12] 그러므로 \(\overline{\rm KH}:\overline{\rm FH}=\left(\overline{\rm EL}+\overline{\rm LK}+\overline{\rm KH}\right):\left(\overline{\rm LF}+\overline{\rm FK}+\overline{\rm HF}\right)\)이다.

그런데 \(\overline{\rm KH}=\overline{\rm CG}\), \(\overline{\rm FH}=a\), \(\overline{\rm LF}=d\), \(\overline{\rm FK}=\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm HF}=a\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm CG}:a=\overline{\rm EH}:\left(d+\overline{\rm BC}+a\right)\)이다.

두 번째 수에서 첫 번째 수를 뺀 수와 첫 번째 수의 비는 마지막 수에서 첫 번째 수를 뺀 수와 첫 번째 수로 부터 마지막 전의 수까지의 합의 비는 같다.

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그러므로 몇 개 수들의 연속적인 비가 같다고 하자. 두 번째 수에서 첫 번째 수를 뺀 수와 첫 번째 수의 비는 마지막 수에서 첫 번째 수를 뺀 수와 첫 번째 수로 부터 마지막 전의 수까지의 합의 비는 같다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제를 대수적으로 나타내면 다음과 같다.

수 \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(\cdots\), \(a_n\), \(a_{n+1}\)의 연속적인 비가 같다. 즉, \(a_1:a_2=a_2:a_3=\cdots=a_n:a_{n+1}\)이다.

그러면 \(\left(a_2-a_1\right):a_1=\left(a_{n+1}-a_1\right):\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\)이다.

이 결론은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\(a_1+a_2+a_3 + \cdots + a_n=a-1 \cdot \frac{a_{n+1}-a_1}{a_2-a_1}\)

만약 이 수들이 첫째항이 \(a\)이고 공빅 \(r\)인 등비수열이라고 하면 다음과 같이 나타내어진다.

\(a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}=a\cdot \frac{r^n-a}{r-1}\)

이 명제의 증명을 약간으 대수적 표현으로 나타내어 증명을 하여 보자.

\(a=a_1\), \(\overline{\rm BG}=\overline{\rm FH}=a_1\),

\(\overline{\rm BC}=a_2\), \(\overline{\rm GC}=a_2-a_1\),

\(\cdots\),

\(\overline{\rm EH}=a_{n+1}-a_1\)

\(d=a_n\)

\(\overline{\rm EF}=a_{n+1}\)

처음으로 \(a_{n+1}:a_n=a_n:a_{n-1}=a_2:a_1\)이다.

[VII권 명제 11]에 의해서 \(\left(a_{n+1}-a_n\right):\left(a_n-a_{n-1}\right)=a_n:a_{n-1}\)이다.

바꾼 비례식에 의해서 \(\left(a_{n+1}-a_n\right):a_n=\left(a_n-a_{n-1}\right):a_{n-1}\)이다.

귀납법을 적용하면 다음과 같다.

\(\left(a_{n+1}-a_n\right):a_n=\left(a_n-a_{n-1}\right):a_{n-1}=\cdots=\left(a_2-a_1\right):a_1\)이다.

[VII권 명제 12]에 의해서,

\(\left(a_{n+1}-a_n+a_n-a_{n-1}+\cdots+a_2-a_1\right):\left( a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1\right)=\left(a_2-a_1\right):a_1\)

이다. 또한 \(a_{n+1}-a_n+a_n-a_{n-1}+\cdots+a_2-a_1=a_{n+1}-a_1\)이다.

그러므로 \(\left(a_{n+1}-a_1\right):\left(a_n+a_{n-1}+\cdots+a_2+a_1\right)=\left(a_2-a_1\right):a_1\)이다.

이 명제는 다음 명제에서 사용된다.