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증명
단위수 과 수 , , , 에 대하여 , , , , 의 연속적인 비가 같다. 그리고 가
소수라고 하자.
그러면 가장 큰 수 는 , , 로만 나누어지고 다른 수들로는 나누어질 수 없음을 보여야 한다.
가장 큰 수 가 , , 의 이외의 수 로 나누어진다고 하자. 그리고 이라고 하자.
그러면 는 소수가 아니다. 왜냐하면 가 소수라고 하면 는 를 나누면 는 a를 나눈다. [IX권 명제 12]
그런데 는 소수이고이므로 이것은 모순이다. 그러므로 는 소수가 아니다.
그러므로 는 합성수이다. 그런데 합성수를 나누는 어떤 소수가 존재한다. [VII권 명제 31] 그러므로 어떤 소수는 를
나눈다.
그 다음으로 를 제외한 다른 소수로 를 나눌 수 없음을 보이자.
만약 다른 어떤 소수가 를 나눈다면 는 를 나누므로 그 어떤 소수는 를 나눈다. 그러므로 그 소수는 도
나눈다. [IX권 명제 12] 그런데 는 소수이며 어떤 소수는 가 아니므로 이것 모순이다. 그러므로 a는 를 나눈다.
수 를 라 하자. 그러면 , , 와 모두 다르다는 것을 보이자.
만약 f가 , , 중 어느 하나와 같다면 그 수가 와 같으므로, , ,
중 하나가 와 같다. 그런데 , , 는 , , 중 어떤 수와 같다. [IX권 명제
11] 그러므로 는 , , 중 하나와 같다. 이것은 가정에 모순이다. 그러므로 f는 , , 모두와
같지 않다.
비슷한 방법으로 가 소수가 아닌 것을 보이면 가 를 나누는 것을 보일 수 있다.
만약 가 소수이면서 를 나누면 는 를 나눈다. [IX권 명제 12] 그런데 는 소수이고 이므로
이것은 모순이다. 그러므로 는 소수가 아니다.
그러므로 는 합성수이다. 그런데 어떤 소수는 합성수를 나눈다. [VII권 명제 31] 그러므로 어떤 소수는 를 나눈다.
그 다음으로 를 제외한 다른 소수로 를 나눌 수 없음 보이자.
만약 다른 어떤 소수가 를 나눈다고 하면 가 를 나누므로 그 어떤 소수 또한 를 나눈다. 그러므로 그 어떤
소수는 도 나눈다. [IX권 명제 12] 그런데 는 소수이며 어떤 소수는 와 다르므로 이것은 모순이다. 그러므로 는
를 나눈다.
이므로 이다. 그런데 이다. [IX권 명제 11] 그러므로 이다.
그러므로 이다 [VII권 명제 19] 그런데 는 를 나눈다. 그러므로 도 를 나눈다.
수 를 라 하자. 비슷한 방법으로 는 , 와 다르며, 가 를 나눌수 있음을 보일 수 있다.
이므로 이다. 그런데 이다 [IX권 명제 11] 그러므로 이다.
그러므로 이다. [VII권 명제 19] 그런데 는 를 나눈다. 그러므로 도 를 나눈다.
수 를 라 하자. 비슷한 방법으로 가 와 다르다는 것을 보일 수 있다. 이므로
이다. 그런데 이다. [IX권 명제 8] 그러므로 이다. 그러므로 이다.
[VII권 명제 19]
그런데 는 를 나눈다. 그러므로 도 를 나눈다. 그런데 는 소수이고 이므로 이것은 모순이다.
그러므로 , , 를 제외한 어떠한 수로도 가장 큰 수 를 나눌 수 없다.
그러므로 단위수를 포함한 몇 개수들의 연속적인 비가 같다. 그리고 단위수 다음의 수가 소수라고 하자. 그러면 가장 큰 수는 이
비례하는 수들로만 나누어지고, 다른 수로는 나누어질 수 없다.
Q.E.D.