애플릿

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증명

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단위수 $1$과 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $1$, $a$, $b$, $c$, $d$의 연속적인 비가 같다. 그리고 $a$가 소수라고 하자.

그러면 가장 큰 수 $d$는 $a$, $b$, $c$로만 나누어지고 다른 수들로는 나누어질 수 없음을 보여야 한다.

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가장 큰 수 $d$가 $a$, $b$, $c$의 이외의 수 $e$로 나누어진다고 하자. 그리고 $e\ne a,b,c$이라고 하자.

그러면 $e$는 소수가 아니다. 왜냐하면 $e$가 소수라고 하면 $e$는 $d$를 나누면 $e$는 a를 나눈다. [IX권 명제 12] 그런데 $a$는 소수이고$a\ne e$이므로 이것은 모순이다. 그러므로 $e$는 소수가 아니다.

그러므로 $e$는 합성수이다. 그런데 합성수를 나누는 어떤 소수가 존재한다. [VII권 명제 31] 그러므로 어떤 소수는 $e$를 나눈다.

그 다음으로 $a$를 제외한 다른 소수로 $e$를 나눌 수 없음을 보이자.

만약 다른 어떤 소수가 $e$를 나눈다면 $e$는 $d$를 나누므로 그 어떤 소수는 $d$를 나눈다. 그러므로 그 소수는 $a$도 나눈다. [IX권 명제 12] 그런데 $a$는 소수이며 어떤 소수는 $a$가 아니므로 이것 모순이다. 그러므로 a는 $e$를 나눈다.

수 $f$를 $f=\frac{d}{e}$라 하자. 그러면 $f는$ $a$, $b$, $c$와 모두 다르다는 것을 보이자.

만약 f가 $a$, $b$, $c$ 중 어느 하나와 같다면 그 수가 $\frac{d}{e}$와 같으므로, $\frac{d}{a}$, $\frac{d}{b}$, $\frac{d}{c}$ 중 하나가 $e$와 같다. 그런데 $\frac{d}{a}$, $\frac{d}{b}$, $\frac{d}{c}$는 $a$, $b$, $c$ 중 어떤 수와 같다. [IX권 명제 11] 그러므로 $e$는 $a$, $b$, $c$ 중 하나와 같다. 이것은 가정에 모순이다. 그러므로 f는 $a$, $b$, $c$ 모두와 같지 않다.

비슷한 방법으로 $f$가 소수가 아닌 것을 보이면 $a$가 $f$를 나누는 것을 보일 수 있다.

만약 $f$가 소수이면서 $d$를 나누면 $f$는 $a$를 나눈다. [IX권 명제 12] 그런데 $a$는 소수이고 $f\ne a$이므로 이것은 모순이다. 그러므로 $f$는 소수가 아니다.

그러므로 $f$는 합성수이다. 그런데 어떤 소수는 합성수를 나눈다. [VII권 명제 31] 그러므로 어떤 소수는 $f$를 나눈다.

그 다음으로 $a$를 제외한 다른 소수로 $f$를 나눌 수 없음 보이자.

만약 다른 어떤 소수가 $f$를 나눈다고 하면 $f$가 $d$를 나누므로 그 어떤 소수 또한 $d$를 나눈다. 그러므로 그 어떤 소수는 $a$도 나눈다. [IX권 명제 12] 그런데 $a$는 소수이며 어떤 소수는 $a$와 다르므로 이것은 모순이다. 그러므로 $a$는 $f$를 나눈다.

$\frac{d}{e}=f$이므로 $d=e\cdot f$이다. 그런데 $d=a\cdot c$이다. [IX권 명제 11] 그러므로 $a\cdot c=e\cdot f$이다. 그러므로 $a:e=f:c$이다 [VII권 명제 19] 그런데 $a$는 $e$를 나눈다. 그러므로 $f$도 $c$를 나눈다.

수 $g$를 $g=\frac{c}{f}$라 하자. 비슷한 방법으로 $g$는 $a$, $b$와 다르며, $a$가 $g$를 나눌수 있음을 보일 수 있다. $g=\frac{c}{f}$이므로 $c=f\cdot g$이다. 그런데 $c=a\cdot b$이다 [IX권 명제 11] 그러므로 $a\cdot b=f\cdot g$이다. 그러므로 $a:f=g:b$이다. [VII권 명제 19] 그런데 $a$는 $f$를 나눈다. 그러므로 $g$도 $b$를 나눈다.

수 $h$를 $h=\frac{b}{g}$라 하자. 비슷한 방법으로 $h$가 $a$와 다르다는 것을 보일 수 있다. $h=\frac{b}{g}$이므로 $b=g\cdot h$이다. 그런데 $b=a\cdot a$이다. [IX권 명제 8] 그러므로 $h\cdot g=a\cdot a$이다. 그러므로 $h:a=a:g$이다. [VII권 명제 19]

그런데 $a$는 $g$를 나눈다. 그러므로 $h$도 $a$를 나눈다. 그런데 $a$는 소수이고 $a\ne h$이므로 이것은 모순이다. 그러므로 $a$, $b$, $c$를 제외한 어떠한 수로도 가장 큰 수 $d$를 나눌 수 없다.

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그러므로 단위수를 포함한 몇 개수들의 연속적인 비가 같다. 그리고 단위수 다음의 수가 소수라고 하자. 그러면 가장 큰 수는 이 비례하는 수들로만 나누어지고, 다른 수로는 나누어질 수 없다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제를 다른 표현으로 나타내면 아래와 같다.

소수의 거듭제곱을 나눌 수 있는 수는 거듭제곱의 밑의 소수의 지수보다 작거나 같은 지수를 갖는 거듭제곱뿐이다

이 명제는 앞의 명제처럼 귀납법을 사용한다.

$e$가 소수 $p$의 $p^k$를 나눈다고 하자. 그리고 $e$는 밑이 $p$이고 $k$보다 작은 지수의 거듭제곱과 같지 않다고 하자.

$e$는 자신이 소수 $p$가 아니다. 왜냐하면 [IX권 명제 12]에 의해서 $e$가 $p$를 나누면 모순이이다. 그러므로 $e$는 합성수이다. 그러므로 $e$를 나누는 어떤 소수 $q$가 존재한다. [VII권 명제 31] $q$는 $p^k$를 나눈다고 하면 $q$는 $p$를 나눈다. 그러므로 $e$를 나누는 소수는 단지 $p$ 뿐이다.

나머지 증명은 귀납법에 의해서 $k$번 적용하자. 그리고 $e\ne 1$이므로 $p$는 $e$를 나눈다. $=\frac{e}{p}$라 하자. 그러면 $g$는 $p^{k-1}$을 나눈다. $g$는 $p^k$의 거듭제곱보다 작은 수는 아니다. 같은 논리로 계속해서 반복하자. 어떤 수가 $p$를 나누고 $1$도 $p$도 아니다. 이것은 모순이다. 그러므로 소수의 거듭제곱을 나눌 수 있는 유일한 수는 소수의 더 작은 거듭제곱뿐이다.

이 명제는 [IX권 명제 32], [IX권 명제 36]에서 사용된다.