IX 권
명제
단위수를 포함한 몇 개수들의 연속적인 비가 같다. 그리고 단위수 다음의 수가 소수라고 하자. 그러면 가장 큰 수는 이 비례하는 수들로만 나누어지고, 다른 수로는 나누어질 수 없다.
단위수 \(1\)과 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비가 같다. 그리고 \(a\)가 소수라고 하자. 그러면 가장 큰 수 \(d\)는 \(a\), \(b\), \(c\)로만 나누어지고 다른 수들로는 나누어질 수 없다.
단위수 \(1\)과 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비가 같다. 그리고 \(a\)가 소수라고 하자.
그러면 가장 큰 수 \(d\)는 \(a\), \(b\), \(c\)로만 나누어지고 다른 수들로는 나누어질 수 없음을 보여야 한다.
가장 큰 수 \(d\)가 \(a\), \(b\), \(c\)의 이외의 수 \(e\)로 나누어진다고 하자. 그리고 \(e\ne a,\, b,\, c\)이라고 하자.
그러면 \(e\)는 소수가 아니다. 왜냐하면 \(e\)가 소수라고 하면 \(e\)는 \(d\)를 나누면 \(e\)는 a를 나눈다. [IX권 명제 12] 그런데 \(a\)는 소수이고\(a\ne e\)이므로 이것은 모순이다. 그러므로 \(e\)는 소수가 아니다.
그러므로 \(e\)는 합성수이다. 그런데 합성수를 나누는 어떤 소수가 존재한다. [VII권 명제 31] 그러므로 어떤 소수는 \(e\)를 나눈다.
그 다음으로 \(a\)를 제외한 다른 소수로 \(e\)를 나눌 수 없음을 보이자.
만약 다른 어떤 소수가 \(e\)를 나눈다면 \(e\)는 \(d\)를 나누므로 그 어떤 소수는 \(d\)를 나눈다. 그러므로 그 소수는 \(a\)도 나눈다. [IX권 명제 12] 그런데 \(a\)는 소수이며 어떤 소수는 \(a\)가 아니므로 이것 모순이다. 그러므로 a는 \(e\)를 나눈다.
수 \(f\)를 \(f=\frac de\)라 하자. 그러면 \(f는\) \(a\), \(b\), \(c\)와 모두 다르다는 것을 보이자.
만약 f가 \(a\), \(b\), \(c\) 중 어느 하나와 같다면 그 수가 \(\frac de\)와 같으므로, \(\frac da\), \(\frac db\), \(\frac dc\) 중 하나가 \(e\)와 같다. 그런데 \(\frac da\), \(\frac db\), \(\frac dc\)는 \(a\), \(b\), \(c\) 중 어떤 수와 같다. [IX권 명제 11] 그러므로 \(e\)는 \(a\), \(b\), \(c\) 중 하나와 같다. 이것은 가정에 모순이다. 그러므로 f는 \(a\), \(b\), \(c\) 모두와 같지 않다.
비슷한 방법으로 \(f\)가 소수가 아닌 것을 보이면 \(a\)가 \(f\)를 나누는 것을 보일 수 있다.
만약 \(f\)가 소수이면서 \(d\)를 나누면 \(f\)는 \(a\)를 나눈다. [IX권 명제 12] 그런데 \(a\)는 소수이고 \(f\ne a\)이므로 이것은 모순이다. 그러므로 \(f\)는 소수가 아니다.
그러므로 \(f\)는 합성수이다. 그런데 어떤 소수는 합성수를 나눈다. [VII권 명제 31] 그러므로 어떤 소수는 \(f\)를 나눈다.
그 다음으로 \(a\)를 제외한 다른 소수로 \(f\)를 나눌 수 없음 보이자.
만약 다른 어떤 소수가 \(f\)를 나눈다고 하면 \(f\)가 \(d\)를 나누므로 그 어떤 소수 또한 \(d\)를 나눈다. 그러므로 그 어떤 소수는 \(a\)도 나눈다. [IX권 명제 12] 그런데 \(a\)는 소수이며 어떤 소수는 \(a\)와 다르므로 이것은 모순이다. 그러므로 \(a\)는 \(f\)를 나눈다.
\(\frac de=f\)이므로 \(d=e\cdot f\)이다. 그런데 \(d=a\cdot c\)이다. [IX권 명제 11] 그러므로 \(a\cdot c=e\cdot f\)이다. 그러므로 \(a:e=f:c\)이다 [VII권 명제 19] 그런데 \(a\)는 \(e\)를 나눈다. 그러므로 \(f\)도 \(c\)를 나눈다.
수 \(g\)를 \(g=\frac cf\)라 하자. 비슷한 방법으로 \(g\)는 \(a\), \(b\)와 다르며, \(a\)가 \(g\)를 나눌수 있음을 보일 수 있다. \(g=\frac cf\)이므로 \(c=f\cdot g\)이다. 그런데 \(c=a\cdot b\)이다 [IX권 명제 11] 그러므로 \(a\cdot b=f\cdot g\)이다. 그러므로 \(a:f=g:b\)이다. [VII권 명제 19] 그런데 \(a\)는 \(f\)를 나눈다. 그러므로 \(g\)도 \(b\)를 나눈다.
수 \(h\)를 \(h=\frac bg\)라 하자. 비슷한 방법으로 \(h\)가 \(a\)와 다르다는 것을 보일 수 있다. \(h=\frac bg\)이므로 \(b=g\cdot h\)이다. 그런데 \(b=a\cdot a\)이다. [IX권 명제 8] 그러므로 \(h\cdot g= a\cdot a\)이다. 그러므로 \(h:a=a:g\)이다. [VII권 명제 19]
그런데 \(a\)는 \(g\)를 나눈다. 그러므로 \(h\)도 \(a\)를 나눈다. 그런데 \(a\)는 소수이고 \(a\ne h\)이므로 이것은 모순이다. 그러므로 \(a\), \(b\), \(c\)를 제외한 어떠한 수로도 가장 큰 수 \(d\)를 나눌 수 없다.
그러므로 단위수를 포함한 몇 개수들의 연속적인 비가 같다. 그리고 단위수 다음의 수가 소수라고 하자. 그러면 가장 큰 수는 이 비례하는 수들로만 나누어지고, 다른 수로는 나누어질 수 없다.
Q.E.D.
이 명제를 다른 표현으로 나타내면 아래와 같다.
소수의 거듭제곱을 나눌 수 있는 수는 거듭제곱의 밑의 소수의 지수보다 작거나 같은 지수를 갖는 거듭제곱뿐이다
이 명제는 앞의 명제처럼 귀납법을 사용한다.
\(e\)가 소수 \(p\)의 \(p^k\)를 나눈다고 하자. 그리고 \(e\)는 밑이 \(p\)이고 \(k\)보다 작은 지수의 거듭제곱과 같지 않다고 하자.
\(e\)는 자신이 소수 \(p\)가 아니다. 왜냐하면 [IX권 명제 12]에 의해서 \(e\)가 \(p\)를 나누면 모순이이다. 그러므로 \(e\)는 합성수이다. 그러므로 \(e\)를 나누는 어떤 소수 \(q\)가 존재한다. [VII권 명제 31] \(q\)는 \(p^k\)를 나눈다고 하면 \(q\)는 \(p\)를 나눈다. 그러므로 \(e\)를 나누는 소수는 단지 \(p\) 뿐이다.
나머지 증명은 귀납법에 의해서 \(k\)번 적용하자. 그리고 \(e\ne 1\)이므로 \(p\)는 \(e\)를 나눈다. \(=\frac ep\)라 하자. 그러면 \(g\)는 \(p^{k-1}\)을 나눈다. \(g\)는 \(p^k\)의 거듭제곱보다 작은 수는 아니다. 같은 논리로 계속해서 반복하자. 어떤 수가 \(p\)를 나누고 \(1\)도 \(p\)도 아니다. 이것은 모순이다. 그러므로 소수의 거듭제곱을 나눌 수 있는 유일한 수는 소수의 더 작은 거듭제곱뿐이다.
이 명제는 [IX권 명제 32], [IX권 명제 36]에서 사용된다.