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증명
단위수 \(1\)을 포함한 여러 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)의 연속적인 비가 같다고 하자.
그러면 그러면 수 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)에서 두 번째 수 \(a\)가 제곱수가 아니면 항의 번호를 \(2\)로
나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들을 뺀 나머지 수들은 제곱수가 아님을 보여야 한다.
그리고 \(a\)가 세제곱수가 아니면 항의 번호를 \(3\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수들을 제외한 나머지 수들은
세제곱수가 아님을 보여야 한다.
1) 수 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\)에서 두 번째 수 \(a\)가 제곱수가 아니면 항의 번호를 \(2\)로 나누어서
나머지가 \(1\)인 모든 항들을 뺀 나머지 수들은 제곱수가 아님을 보이자.
결론은 부정하여 \(c\)가 제곱수라고 하자. 그런데 \(b\)도 제곱수이다. [IX권 명제 8]
그러므로 비 \(b:c\)은 제곱수의 비이다. 그리고 \(b:c=a:b\)이므로 비 \(a:b\)도 제곱수의 비이다. [VIII권 명제 26]
그런데 \(b\)가 제곱수이므로 \(a\)도 제곱수이다. 이것은 \(a\)가 제곱수가 아니라는 가정에 모순이다.
그러므로 \(c\)는 제곱수가 아니다. 같은 논리로 항의 번호를 \(2\)로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들을 뺀 나머지 수들은
제곱수가 아님을 보일 수 있다.
2) \(a\)가 세제곱수가 아니면 항의 번호를 \(3\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수들을 제외한 나머지 수들은
세제곱수가 아님을 보이자.
결론을 부정하여 \(d\)가 세제곱수라고 하자. 그러면 \(c\)도 세제곱 수이다. 왜냐하면 \(c\)는 네 번째 수이기 때문이다. [IX권
명제 8]
\(c:d=b:c\)이다. 비 \(b:c\)는 세제곱수의 비이다. 그런데 \(c\)는 세제곱 수이므로 \(b\)도 세제곱수이다. [VIII권 명체 25]
\(1:a=a:b\)이고 \(\frac a1=a\)이고 \(\frac ba=a\)이다.
그러므로 \(b=a\cdot a\)이고 \(b\)가 세제곱수이면 \(a\)도 세제곱수이다. [IX권 명제 6] 이것은 \(a\)가 세제곱수가 아니라는
가정에 모순이다. 그러므로 \(d\)는 세제곱수가 아니다.
같은 방법으로 항의 번호를 \(3\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수들을 제외한 나머지 수들은 세제곱수가 아님을 보일
수 있다.
그러므로 단위수 \(1\)을 포함한 여러 개의 수들의 연속적이 비가 같다고 하자. 그러면 세 번째 항의 수는 제곱수가 아니면 항의
번호를 \(2\)로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수를 제외한 나머지 수들은 제곱수가 아니다. 그리고 네 번째 항의 수가
세제곱수가 아니면 항의 번호를 \(3\)으로 나누어서 나머지가 \(1\)인 모든 항들의 수를 제외한 나머지 수들은 세제곱수가 아니다.
Q.E.D.
