IX 권
명제
명제 25
짝수에서 홀수를 빼면 홀수이다.
\(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC}\)인 짝수 \(\overline{\rm AB}\), 홀수 \(\overline{\rm BC}\)가 있다. 수 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BC}\)이다. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 홀수이다.
IX 권
명제
짝수에서 홀수를 빼면 홀수이다.
\(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC}\)인 짝수 \(\overline{\rm AB}\), 홀수 \(\overline{\rm BC}\)가 있다. 수 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BC}\)이다. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 홀수이다.
\(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC}\)인 짝수 \(\overline{\rm AB}\), 홀수 \(\overline{\rm BC}\)가 있다. 수 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BC}\)이다.
그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 홀수임을 보여야 한다.
단위수 \(\overline{\rm CD}\)라 하고, 수 \(\overline{\rm DB}\)를 \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm BC}-\overline{\rm CD}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm DB}\)는 짝수이다. [VII권 정의 7] 그런데 \(\overline{\rm AB}\)도 짝수이다. 그러므로 \(\overline{\rm AD}\)\((=\overline{\rm AB}-\overline{\rm DB})\)는 짝수이다. [IX권 명제 24] 그런데 \(\overline{\rm CD}\)는 단위수이므로 \(\overline{\rm AC}\)는 홀수이다.
그러므로 짝수에서 홀수를 빼면 홀수이다.
Q.E.D.
이 명제는 짝수와 홀수를 뺀 결과를 조사하는 네 명제 중 두 번째이다.