IX 권
명제
홀수에서 짝수를 뺀 수는 홀수이다.
\(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC}\)인 홀수 \(\overline{\rm AB}\), 짝수 \(\overline{\rm BC}\)가 있다. 수 \(\overline{\rm AC}\)는 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BC}\)이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 홀수이다.
\(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC}\)인 홀수 \(\overline{\rm AB}\), 짝수 \(\overline{\rm BC}\)가 있다. 수 \(\overline{\rm AC}\)는 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BC}\)이라 하자.
그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 홀수임을 보여야 한다.
단위수를 \(\overline{\rm AD}\)라 하고 수 \(\overline{\rm BD}\)는 \(\overline{\rm BD}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm AD}\)이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm BD}\)는 짝수이다. [VI권 정의 7] 그런데 \(\overline{\rm BC}\)도 짝수이다. 수 \(\overline{\rm CD}\)는 \(\overline{\rm CD}=\overline{\rm DB}-\overline{\rm BC}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm CD}\)는 짝수이다. [IX권 명제 24] 그러므로 \(\overline{\rm AC}\)\((=\overline{\rm AD}+\overline{\rm DC})\)는 홀수이다. [VII권 정의 7]
그러므로 홀수에서 짝수를 뺀 수는 홀수이다.
Q.E.D.
이 명제는 홀수와 짝수를 뺀 결과에 대한 마지막 명제이다.