IX 권
명제
세 수들이 세 수들의 연속적인 비가 같으며 이 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수라고 하자. 그러면 이들 세 수 중 둘을 더한 것은 나머지 한 수와 서로소이다.
세 수 \(a\), \(b\), \(c\)는 \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같으며 이 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수라고 하자. 그러면 \(a\), \(b\), \(c\) 중 두 수를 더한 것은 나머지 한 수와 서로소이다. 즉, \(a+b\)와 \(c\)는 서로소, \(a+c\)와 \(b\)도 서로소, \(b+c\)와 \(a\)도 서로소이다.
세 수 \(a\), \(b\), \(c\)는 \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같으며 이 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수라고 하자.
그러면 \(a\), \(b\), \(c\) 중 두 수를 더한 것은 나머지 한 수와 서로소임을 보여야 한다. 즉, \(a+b\)와 \(c\)는 서로소, \(a+c\)와 \(b\)도 서로소, \(b+c\)와 \(a\)도 서로소임을 보여야 한다.
\(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비와 같으며 가장 작은 두 수 \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm EF}\)를 잡아라. [VIII권 명제 2]
그런데 \(a=\overline{\rm DE}\cdot \overline{\rm DE}\)이고, \(b=\overline{\rm DE}\cdot \overline{\rm EF}\), \(c=\overline{\rm EF}\cdot \overline{\rm EF}\)이다. [VIII권 명제 2, 따름명제]
그런데 \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm EF}\)는 비가 같은 수들 중에서 가장 작은 수이므로, 이 두 수는 서로소이다. [VII권 명제 22] 그런데 두 수가 서로소이면 그들을 더한 수와 각각이 수와 서로소이다. [VII권 명제 28] 그러므로 \(\overline{\rm DF}\left(=\overline{\rm DE}+\overline{\rm EF}\right)\)는 \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm EF}\)와 각각 서로소이다.
그런데 \(\overline{\rm DE}\)는 \(\overline{\rm EF}\)와 서로소이다. 그러므로 \(\overline{\rm DF}\left(=\overline{\rm DE}+\overline{\rm EF}\right)\), \(\overline{\rm DE}\)는 \(\overline{\rm EF}\)와 서로소이다. 그런데 두 수가 한 수와 서로소이면 그 두 수를 곱한 수도 그 한 수와 서로소이다. [VII권 명제 24] 그러므로 \(\overline{\rm FD}\cdot \overline{\rm DE}\)도 \(\overline{\rm EF}\)와 서로소이다. 그러므로 \(\overline{\rm FD}\cdot \overline{\rm DE}\)는 \({\overline{\rm EF}}^2\)과도 서로소이다. [VII권 명제 25]
그런데 \(\overline{\rm FD}\cdot \overline{\rm DE}={\overline{\rm DE}}^2+\overline{\rm DE}\cdot \overline{\rm EF}\)이다. [II권 명제 3] 그러므로 \({\overline{\rm DE}}^2+\overline{\rm DE}\cdot \overline{\rm EF}\)은 \({\overline{\rm EF}}^2\)과 서로소이다. 그런데 \({\overline{\rm DE}}^2=a\)이고 \(\overline{\rm DE}\cdot \overline{\rm EF}=b\)이며 \({\overline{\rm EF}}^2=c\)이다. 그러므로 \(a+b\)와 \(c\)는 서로소이다.
같은 방법으로 \(b+c\)와 \(a\)가 서로소인 것을 보일 수 있다.
다음으로 \(a+c\)와 \(b\)가 서로소인 것을 보이자.
\(\overline{\rm DF}\)는 \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm EF}\)와 서로소이므로 \({\overline{\rm DF}}^2\)은 \(\overline{\rm DE}\cdot \overline{\rm EF}\)와 서로소이다. [VII권 명제 24, 25] 그런데 \({\overline{\rm DE}}^2+2\cdot \overline{\rm DE}\cdot \overline{\rm EF}+ {\overline{\rm EF}}^2 ={\overline{\rm DF}}^2\)이다. [II권 명제 4] 그러므로 \({\overline{\rm DE}}^2+2\cdot \overline{\rm DE}\cdot \overline{\rm EF}+ {\overline{\rm EF}}^2\)은 \(\overline{\rm DE}\cdot \overline{\rm EF}\)와 서로소이다.
뺀 비례식에 의해서 \({\overline{\rm DE}}^2+\overline{\rm DE}\cdot \overline{\rm EF}+{\overline{\rm EF}}^2\)은 \(\overline{\rm DE}\cdot \overline{\rm EF}\)와 서로소이다. 또 뺀 비례식에 의해서 \({\overline{\rm DE}}^2+{\overline{\rm EF}}^2\)은 \(\overline{\rm DE}\cdot \overline{\rm EF}\)와 서로소이다.
그런데 \({\overline{\rm DE}}^2=a\), \(\overline{\rm DE}\cdot \overline{\rm EF}=b\), \({\overline{\rm EF}}^2=c\)이므로 \(a+c\)와 \(b\)는 서로소이다.
그러므로 세 수들이 세 수들의 연속적인 비가 같으며 이 비를 갖는 수들 중 가장 작은 수라고 하자. 그러면 이들 세 수 중 둘을 더한 것은 나머지 한 수와 서로소이다.
세 수 \(a\), \(b\), \(c\)의 연속적인 비가 같으면 즉, \(a:b=b:c=c:a\) [VIII권 명제 2]에 의해서 \(a=d^2\), \(b=d\cdot e\), \(c=e^2\)이다. (단, \(d:e=a:b\)이고 \(d\), \(e\)는 소수이다.) \(d+e\)는 각각 \(d\), \(e\)와 서로소이다. [VII권 명제 28]
\(d\)와 \(d+e\)도 각각 \(e\)와 서로소이다. \(d^2+de\)도 \(e\)와 서로소이고 [VII권 명제 24] 그리고 \(e^2\)과도 서로소이다. [VII권 명제 25]. 그러므로 \(a+b\)는 \(c\)와 서로소이다.
\(b+c\)와 \(a\)도 서로소임을 같은 논리로 증명할 수 있다.
\(d+e\)가 각각 \(d\), \(e\)와 서로소이다. 그러므로 \((d+e)^2\)은 \(d\cdot e\)와 서로소이다. [VII권 명제 24, 25] 다시말해 \(d^2+2d\cdot e + e^2\)이 \(d\cdot e\)와 서로소이다. \(d^2+e^2\)은 \(d\cdot e\)와 서로소이다. 그러므로 \(b\)는 \(a+c\)와 서로소이다.
이 명제는 원론 나머지 명제에서 사용되지 않는다.