IX 권
명제
명제 16
두 수가 서로소이면 두 번째 수는 어떠한 수에 대해서도 첫 번째 수와 두 번째 수의 비와 같은 수가 없다.
두 수 \(a\), \(b\)가 서로소라고 하자. 그러면 \(b:c=a:b\)인 수 \(c\)가 존재하지 않는다.
IX 권
명제
두 수가 서로소이면 두 번째 수는 어떠한 수에 대해서도 첫 번째 수와 두 번째 수의 비와 같은 수가 없다.
두 수 \(a\), \(b\)가 서로소라고 하자. 그러면 \(b:c=a:b\)인 수 \(c\)가 존재하지 않는다.
두 수 \(a\), \(b\)가 서로소라고 하자.
그러면 \(b:c=a:b\)인 수 \(c\)가 존재하지 않음을 보여야 한다.
\(b:c=a:b\)인 수 \(c\)가 존재한다고 하자. \(a\), \(b\)는 서로소이다.
서로소인 수들은 비가 같은 수들 중에서 가장 작은 수이며 [VII권 명제 21], 비율이 같은 다른 수들 비는 가장 작은 수들의 비의 배수이다. 즉 큰 수는 큰 수의 배수이고 작은 수는 작은 수의 배수이며, 전자는 전자를 후자는 후자를 똑 같은 배수가 된다. [VII권 명제 20]
그러므로 \(a\)는 \(b\)를 나눈다. \(a\)는 자신 \(a\)를 나눈다. 그러므로 \(a\)는 \(a\), \(b\)를 동시에 나눈다. 그런데 \(a\), \(b\)는 서로소이므로 이것은 모순이다. 그러므로 \(b:c=a:b\)인 수 \(c\)는 존재하지 않는다.
그러므로 두 수가 서로소이면 두 번째 수는 어떠한 수에 대해서도 첫 번째 수와 두 번째 수의 비와 같은 수가 없다.
Q.E.D.
\(a\), \(b\)는 서로소이다. 그러면 \(a:b\)는 이 비와 같은 수들 중에서 가장 작은 수이다. \(a:b=b:c\)인 수 \(c\)가 존재한다고 하자. 그러면 \(a:b\)의 \(a\)가 \(b:c\)의 \(b\)를 나눈다. 그런데 \(a\), \(b\)는 서로소이므로 \(a\)가 \(b\)를 나눌 수 없다. 그러므로 모순이다.
이 명제는 [IX권 명제 18]에서 사용된다.