IX 권
명제
명제 28
홀수와 짝수의 곱은 짝수이다.
홀수 \(a\), 짝수 \(b\)에 대하여 수 \(c\)를 \(c=a\cdot b\)라 하자. 그러면 \(c\)는 짝수이다.
IX 권
명제
홀수와 짝수의 곱은 짝수이다.
홀수 \(a\), 짝수 \(b\)에 대하여 수 \(c\)를 \(c=a\cdot b\)라 하자. 그러면 \(c\)는 짝수이다.
홀수 \(a\), 짝수 \(b\)에 대하여 수 \(c\)를 \(c=a\cdot b\)라 하자.
그러면 \(c\)는 짝수임을 보여야 한다.
\(c=a\cdot b\)이다. \(\frac ac=b\)이다. [VII권 정의 15] 그런데 \(b\)가 짝수이다. 그러므로 \(c\)는 짝수들을 더한 것이다. 그런데 짝수들의 합은 짝수이다. [IX권 명제 21] 그러므로 \(c\)는 짝수이다.
그러므로 홀수와 짝수의 곱은 짝수이다.
Q.E.D.
두 짝수의 곱은 생략되었다. 이 명제에 대한 증명은 a가 홀수라는 가정을 사용하지 않는다는 점에 주목하자. 이 명제는 "어떤 수에 짝수를 곱하면 그 곱은 짝수"가 될 수도 있다.
[IX권 명제 31]의 증명은 수가 홀수를 나누기 때문에 홀수여야 한다는 한 지점에서 결론을 내린다. 이러한 진술은 이 명제에서 비롯된 것이다.