IX 권
명제
명제 33
어떤 수의 절반이 홀수라 하자. 그 어떤 수는 짝수와 홀수의 곱 형태로만 이루어져있다.
어떤 수 \(a\)에 대하여, \(\frac a2\)가 홀수라고 하자. 그러면 \(a\)는 짝수와 홀수의 곱 형태로만 이루어져 있다.
IX 권
명제
어떤 수의 절반이 홀수라 하자. 그 어떤 수는 짝수와 홀수의 곱 형태로만 이루어져있다.
어떤 수 \(a\)에 대하여, \(\frac a2\)가 홀수라고 하자. 그러면 \(a\)는 짝수와 홀수의 곱 형태로만 이루어져 있다.
어떤 수의 절반이 홀수라 하자. 그 어떤 수는 짝수와 홀수의 곱 형태로만 이루어져있다.
어떤 수 \(a\)에 대하여, \(\frac a2\)가 홀수라고 하자. 그러면 \(a\)는 짝수와 홀수의 곱 형태로만 이루어져 있다.
어떤 수 \(a\)에 대하여, \(\frac a2\)가 홀수라고 하자.
그러면 \(a\)는 짝수와 홀수의 형태로만 이루어져 있음을 보여야 한다.
수 \(a\)가 짝수와 홀수의 곱의 형태인 것은 자명하다. 왜냐하면 \(\frac a2\)가 홀수이므로 \(a\)는 홀수와 \(2\)를 곱한 것과 같기 때문이다. [VII권 정의 9]
이제 \(a\)가 짝수와 홀수의 곱의 형태로만 이루어져 있음을 보이자.
\(a\)가 짝수와 짝수의 곱의 형태로 되어 있다고 하자. 그러면 \(a\)를 짝수로 나누면 그 몫이 짝수가 된다. [VII권 정의 8]
그러므로 짝수가 \(\frac a2\)도 나눈다. 그런데 \(\frac a2\)가 홀수이므로 이것은 모순이다.
그러므로 \(a\)는 짝수와 홀수의 곱 형태로만 이루어 있다.
그러므로 어떤 수의 절반이 홀수라 하자. 그 어떤 수는 짝수와 홀수의 곱 형태로만 이루어져있다.
Q.E.D.
수가 짝수와 홀수의 곱의 형태라는 것은 짝수와 짝수의 곱의 형태는 아니라는 의미이다.
이 명제에서의 수는 홀수의 \(2\)배인 수이다. 예를 들어 홀수 \(7\)의 \(2\)배인 \(a=14\)이다.