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증명

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두 수 \(a\), \(b\)에 대하여, 수 \(c\)는 \(c=a\cdot b\)라 하자.

그러면 두 수 \(a\), \(b\)는 닮은 평면수임을 보여야 한다.

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수 \(d\)를 \(d=a\cdot a\)라 하자. 그러면 \(d\)는 제곱수이다.

\(d=a\cdot a\), \(c=a \cdot b\)이므로 \(a:b=d:c\)이다. [VII권 명제 17]

\(d\)는 제곱수이고 \(c\)도 제곱수이므로 \(d\), \(c\)는 닮은 평면수이다.

그러므로 \(d\), \(c\) 사이에 비례 중항이 한 개 있다. [VIII권 명제 18] 그리고 \(d:c=a:b\)이다.

그러므로 \(a\), \(b\) 사이에도 비례 중항이 한 개 있다. [VIII권 명제 8]

그런데 두 수 사이에 비례 중항이 한 개 있으면 두 수는 닮은 평면수이다. [VIII권 명제 20] 그러므로 \(a\), \(b\)는 닮은 평면수이다.

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그러므로 두 수의 곱이 제곱수라 하자. 그러면 그 두 수는 닮은 평면수이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 앞 명제의 역이다.

이 명제의 예를 들어 보자.

제곱수 \(20^2=400\)에 대하여 \(400\)의 인수분해 중 하나가 \(a=50\), \(b=8\)이라 하자. \(50\), \(8\)의 비례 중항은 \(c=20\)이다. [VIII권 명제 20]에 의해서 \(50\)과 \(8\)은 \(50=5\cdot 10\), \(8=2\cdot 4\)이고 \(5:2=10:4\)이므로 \(50\), \(8\)은 닮은 평면수이다.

좀 더 간단히 다음과 같이 할 수 있다.

두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a\cdot b\)가 제곱수라고 하자. 그러면 \(a^2\), \(ab\)는 모두 제곱수이다. 그러므로 두 수 \(a^2\), \(ab\)는 닮은 평면수이다. [VIII권 명제 8]에 의해서 \(a^2\), \(ab\) 사이에 비례 중항이 한 개 존재하고 \(a^2:ab=a:b\)이므로 \(a\), \(b\) 사이에도 비례 중항이 한 개 존재한다. [VIII권 명제 8] 그러므로 [VIII권 명제 20]에 의해서 \(a\), \(b\)는 닮은 평면수이다.

좀 더 짧게 증명을 할 수 도 있다. \(a\cdot b\)가 제곱수이므로 \(a\cdot b=e^2\)인 수 \(\e\)가 존재한다. 그러므로 두 수 \(a\), \(b\)의 등비중항이 \(e\)이다.