IX 권
명제
단위수 \(1\)로 시작해서 \(2\)를 계속해서 곱해서 몇 개의 수를 만들자. 이들 수들이 합이 소수라고 하자. 그러면 합에다 마지막 수를 곱한 수는 완전수이다.
첫째항이 단위수 \(1\)이고 공비가 \(2\)인 수 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)를 만들자. 그리고 \(1+a+b+c+d\)는 소수라고 하자. 그리고 수 \(e\)를 \(e=1+a+b+c+d\)라고 하고, 수 \(\overline{\rm FG}\)를 \(\overline{\rm FG}=e\cdot d\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm FG}\)는 완전수이다.
첫째항이 단위수 \(1\)이고 공비가 \(2\)인 수 \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)를 만들자. 그리고 \(1+a+b+c+d\)는 소수라고 하자. 그리고 수 \(e\)를 \(e=1+a+b+c+d\)라고 하고, 수 \(\overline{\rm FG}\)를 \(\overline{\rm FG}=e\cdot d\)라 하자.
그러면 \(\overline{\rm FG}\)는 완전수임을 보여야 한다.
몇 개의 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, 같은 개수의 수 \(e\), \(\overline{\rm HK}\), \(l\), \(m\)를 \(e\), \(\overline{\rm HK}=2\cdot e\), \(l=2\cdot \overline{\rm HK}\), \(m=2\cdot l\)이라 하자. 그러면 같은 위치에 있는 비는 같으므로 \(a:d=e:m\)이다. [VII권 명제 14] 그러므로 \(e\cdot d=a\cdot m\)이다. [VII권 명제 19]
그런데 \(\overline{\rm FG}=e\cdot d\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}=a\cdot m\)이다. \(\overline{\rm FG}=a\cdot m\)이므로 \(\frac{\overline{\rm FG}}m=a\)이다. 그런데 \(a=2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}=2\cdot m\)이다.
그런데 \(e\), \(\overline{\rm HK}\), \(l\), \(m\)은 \(2\)를 계속해서 곱한 수들이다. 그러므로 \(e\), \(\overline{\rm HK}\), \(l\), \(m\), \(\overline{\rm FG}\)도 \(2\)를 계속해서 곱한 수들이다.
두 번째 수 \(\overline{\rm HK}\)와 마지막 수 \(\overline{\rm FG}\)에서 \(\overline{\rm HB}=e\), \(\overline{\rm FO}=e\)인 각각 수 \(\overline{\rm HB}\), \(\overline{\rm FO}\)를 빼자. 두 번째 수에서 첫 번째 수를 뺀 수와 첫 번째 수의 비는 마지막 수에서 첫 번째 수를 뺀 수와 첫 번째 수로 부터 마지막 전의 수까지의 합의 비는 같다. [IX권 명제 35] 그러므로 \(\overline{\rm NK}:e=\overline{\rm OG}:\left(m+l+\overline{\rm KH}+e\right)\)이다.
그런데 \(\overline{\rm NK}=e\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm OG}=m+l+\overline(\rm KH)+e\)이다. 그런데 \(\overline{\rm FO}=e\)이다. 그런데 \(e=1+a+b+c+d\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}=e+\overline{\rm HK}+l+m+1+a+b+c+d\)이다. 또한 수 \(e\), \(\overline{\rm HK}\), \(l\), \(m\), \(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) 모두 \(\overline{\rm FG}\)를 나눈다.
그 다음으로 \(e\), \(\overline{\rm HK}\), \(l\), \(m\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)와 단위수 \(1\)을 제외한 어떠한 수로도 \(\overline{\rm FG}\)를 나눌 수 없음을 보이자.
만약 이게 가능하다고 하자.
어떤 수 \(p\)가 \(\overline{\rm FG}\)를 나누고, \(p\ne a,\,b, \, c,\, d,\, e,\, \overline{\rm HK}, \, l,\, m \)이라고 하자. 수 \(q\)는 \(\frac{\overline{\rm FG}}p=q\)이라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm FG}=p\cdot q\)이다. 그러데 \(\overline{\rm FG}=e\cdot d\)이므로 \(e:q=p:d\)이다. [VII권 명제 19]
\(1\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)의 연속적인 비는 같으므로, \(a\), \(b\), \(c\)를 제외한 어떠한 수로도 \(d\)를 나눌 수 없다. [IX권 명제 13] 그런데 가정에서 \(p=a\), \(b\), \(c\)이다. 그러므로 \(p\)는 \(d\)를 나눌 수 없다. 그런데 \(p:d=e:q\)이므로 \(e\)는 \(q\)를 나눌 수 없다. [VII권 정의 20]
그런데 \(e\)는 소수이다. 소수는 나누지 못하는 다른 수와 서로소이다. [VII권 명제 29] 그러므로 \(e\), \(q\)는 서로소이다.
서로소인 수들은 비율이 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이며 [VII권 명제 21], 비율이 같은 다른 수들 비는 가장 작은 수들의 비의 배수이다. 즉 큰 수는 큰 수의 배수이고 작은 수는 작은 수의 배수이며, 전자는 전자를 후자는 후자를 똑 같은 배수가 된다. [VII권 명제 20]
그러므로 \(e\)는 \(p\)를 \(q\)는 \(d\)를 나누고 \(\frac pe=\frac dq\)이다. 그러므로 \(q\)는 \(a\), \(b\), \(c\) 중에 하나이다.
예를 들어 \(q=b\)라 하자. 몇 개의 수 \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여 이들 수의 개수와 같은 수 만큼 \(e\)를 첫 째항으로 해서 수 \(e\), \(\overline{\rm HK}\), \(l\)를 잡자. 그러면 \(e:\overline{\rm HK}:l=b:c:d\)이다. 그러므로 같은 위치에 있는 수의 비는 같으므로 \(b:d=e:l\)이다. [VII권 명제 14] 그러므로 \(b\cdot l=d\cdot e\)이다. [VII권 명제 19]
그런데 \(d\cdot e=q\cdot p\)이다. 그러므로 \(q\cdot p=b\cdot l\)이다. 그러므로 \(q:b=l:p\)dlek. [VII권 명제 19] 그런데 \(q=b\)이다. 그러므로 \(l=p\)이다. 이것은 모순이다. 왜냐하면 가정에서 \(p\ne a,\,b, \, c,\, d\, e,\, \overline{\rm HK}, \, l,\, m \)이기 때문이다.
그러므로 \(e\), \(\overline{\rm HK}\), \(l\), \(m\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)와 단위수 \(1\)을 제외한 어떠한 수로도 \(\overline{\rm FG}\)를 나눌 수 없다.
\(\overline{\rm FG}=e+\overline{\rm HK}+l+m+1+a+b+c+d\)를 보였다. 완전수란 자신의 약수들을 모두 더한 것과 같은 수이다. [VII권 정의 22] 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)는 완전수이다.
그러므로 단위수 \(1\)로 시작해서 \(2\)를 계속해서 곱해서 몇 개의 수를 만들자. 이들 수들이 합이 소수라고 하자. 그러면 합에다 마지막 수를 곱한 수는 완전수이다.
Q.E.D.
이 명제를 현대적으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.
\(s=1+2+2^2+\cdots+2^{p-1}\)이 소수라고 하자. 그러면 \(n=s\cdot 2^{p-1}\)은 완전수이다.
이를 증명하여 보자.
\(p\)가 \(2\)의 거듭제곱이라고 하고, \(s=1+2+2^2+\cdots+2^{p-1}\)가 소수라고 하자.
\(2\)의 거듭제곱의 마지막 수는 \(2^{p-1}\)이다. 그리고 \(1=2^0\)이다.
유클리드는 \(a=2\), \(b=2^2\), \(c=2^3\), \(d=2^{p-1}\)라 가정하였다. \(e=s\), \(\overline{\rm FG}=e\cdot d=s\cdot 2^{p-1}\)라 하였다.
\(n=s\cdot 2^{p-1}\)라 하자. 그러면 \(n\)이 완전수라는 것을 보이자.
합인 \(n\)의 약수들을 구하여 보자.
이것을 위해서 두 수열을 생각하자.
\(1,\, 2,\, 3,\, \cdots,\, 2^{p-1}\)
\(s,\, 2s,\, 2^2s,\, \cdots,\, 2^{p-2}s\)
후에 \(e\), \(\overline{\rm HK}\), \(l\), \(m\)으로 나타내어진다.
이제 남은 증명은 위 두 항들 모두 \(n\)의 모든 약수들이고, \(n\)은 이들 약수들의 합임을 보여야 한다.
[IX권 명제 35]에 의해서 연속적인 비의 합은 다음과 같다.
\(s+2s+2^2s+\cdots+2^{p-2}s=2^{p-1}s-s\)
\(s=1+2+2^2+\cdots+2^{p-1}\)이므로 \(n=2^{p-1}s=1+2+2^2+\cdots+2^{p-1}+s+2s+2^2s+\cdots+2^{p-2}s\) 이다. 그러므로 \(n\)은 모든 약수의 합과 같다.
이제 남은 것은 모든 항들이 \(n\)의 모든 약수임을 보여야 한다.
나머지 증명은 상세하고 따라가기가 어렵다. [IX권 명제 13]을 적용하는데, 이는 \(2^{p-1}\)의 모든 약수들이 \(2\)의 거듭제곱이라는 것을 의미하기 때문에, \(2^{p-}\)1의 모든 약수들을 찾았다.
증명할 것이 또 남아 있다.
\(n=ab\)라 하고, \(a\)는 \(n\)의 약수가 아니라 가정하자. 증명에서는 \(p=a\)를 나타내고 \(q=b\)이다.
\(ab=n=2^{p-1}s\)이지만 \(a\)는 \(2\)의 거듭제곱이 아니며 \(s\)는 소수이므로 \(s\)는 \(a\)를 나눈다. 그래서 \(b\)은 \(2\)의 거듭제곱이어야 한다. 하지만 \(a\)는 \(2\)의 거듭제곱 곱하기 \(s\)이어야 한다. 하지만 \(2\)의 거듭제곱은 \(n\)의 약수이다. 따라서 \(n\)의 약수는 위의 모든 항들이다.