IX 권
명제
명제 3
세제곱수의 제곱수는 세제곱수이다.
세제곱수 \(a\)에 대하여 수 \(b\)는 \(b=a^3\)이라 하자. 그러면 \(b^2\)도 세제곱수이다.
IX 권
명제
세제곱수의 제곱수는 세제곱수이다.
세제곱수 \(a\)에 대하여 수 \(b\)는 \(b=a^3\)이라 하자. 그러면 \(b^2\)도 세제곱수이다.
세제곱수 \(a\)에 대하여 수 \(b\)는 \(b=a^3\)이라 하자.
그러면 \(b^2\)도 세제곱수임을 보여야 한다.
\(a\)의 변을 \(c\)라 하고 수 \(d\)를 \(d=c^2\)이라 하자. 그러면 \(a=c\cdot d\)이다.
단위수를 \(e\)라 하자. \(\frac ce=c\)이고 \(d=c\cdot c\)이므로 \(\frac dc=c\)이다. 그러므로 \(e:c=c:d\)이다. [VII권 정의 20]
\(a=c\cdot d\)이므로 \(\frac ad=c\)이다. 그런데 \(\frac ce=c\)이다. 그러므로 \(e:c=d:a\)이다. 그런데 \(e:c=c:d\)이다. 그러므로 \(e:c=c:d=d:a\)이다.
그러므로 \(e\)와 \(a\) 사이에 두 개의 비례 중항 \(c\), \(d\)가 있고 연속적인 비가 같다. 즉, \(e\), \(c\), \(d\), \(a\)는 \(e< c< d< a\)이며 \(e:c=c:d=d:a\)이다.
다시, \(b=a\cdot a\)이므로 \(\frac ba=a\)이다. 그리고 \(\frac ae=a\)이므로 \(e:a=a:b\)이다. [VII권 정의 20]
그런데 단위수 \(e\)와 \(a\) 사이에 비례 중항이 두 개(\(c\)와 \(d\))가 있다. \(a\), \(b\) 사이에도 비례 중항이 두 개가 존재한다. [VIII권 명제 8]
그런데 두 수 상이에 비례 중항이 두 개가 있고 첫 번째 수가 세제곱 수라고 하자. 그러면 네 번째 수도 세제곱 수이다. [VIII권 명제 23]
그러므로 세제곱수의 제곱수는 세제곱수이다.
Q.E.D.
이 명제는 대수적으로 간단히 표현하면 \(\left(c^3\right)^2=\left(c^2\right)^3\)이다.
이 명제는 다음 두 명제와 [IX권 명제 9]에서 사용된다.