IX 권
명제
명제 14
어떤 소수들로 나눌 수 있는 가장 작은 수는 그 소수들을 제외한 다른 어떤 소수들로 그 수를 나눌 수 없다.
어떤 소수 \(b\), \(c\), \(d\)로 나눌 수 있는 가장 작은 수를 \(a\)라 하자. 그러면 \(b\), \(c\), \(d\)를 제외한 어떤 소수도 \(a\)를 나눌 수 없다.
IX 권
명제
어떤 소수들로 나눌 수 있는 가장 작은 수는 그 소수들을 제외한 다른 어떤 소수들로 그 수를 나눌 수 없다.
어떤 소수 \(b\), \(c\), \(d\)로 나눌 수 있는 가장 작은 수를 \(a\)라 하자. 그러면 \(b\), \(c\), \(d\)를 제외한 어떤 소수도 \(a\)를 나눌 수 없다.
어떤 소수 \(b\), \(c\), \(d\)로 나눌 수 있는 가장 작은 수를 \(a\)라 하자.
그러면 \(b\), \(c\), \(d\)를 제외한 어떤 소수도 \(a\)를 나눌 수 없음을 보여야 한다.
만약 \(b\), \(c\), \(d\)를 제외한 어떤 소수도 \(a\)를 나눌 수 있다고 하자. 그 소수를 \(e\)라 하자. 그러면 \(e\ne\) \(b\), \(c\), \(d\)인 \(e\)가 \(a\)를 나눈다고 하자.
수 \(f\)를 \(f=\frac ae\)라 하자. 그러면 \(a=e\cdot f\)이다. 그리고 소수 \(b\), \(c\), \(d\)로 나눌 수 있는 가장 작은 수가 \(a\)이다. 어떤 소수가 두 수를 곱한 수를 나누면, 그 어떤 소수가 두 수 중 하나를 나눈다. [VII권 명제 30] 그러므로 \(b\), \(c\), \(d\)는 \(e\), \(f\) 중 하나를 나눈다.
그런데 \(b\), \(c\), \(d\)는 \(e\)를 나눌 수 없다. 왜냐하면 \(e\)는 소수이고 \(e\ne\) \(b\), \(c\), \(d\)이기 때문이다. 그러므로 \(b\), \(c\), \(d\)는 f를 나눈다. 그런데 \(f< a\)이다. 이것은 모순이다. 왜냐하면 가정에서 \(b\), \(c\), \(d\)가 나누는 가장 작은 수가 \(a\)라 하였기 때문이다. 그러므로 소수 \(b\), \(c\), \(d\) 만이 \(a\)를 나눈다.
그러므로 어떤 소수들로 나눌 수 있는 가장 작은 수는 그 소수들을 제외한 다른 어떤 소수들로 그 수를 나눌 수 없다.
Q.E.D.
이 명제는 소수 집합의 최소공배수가 다른 소수로 나누어떨어지지 않는다는 것을 의미한다. 최소공배수는 실제로 그 소수의 곱이지만 언급되지 않았다.