IX 권
명제
명제 6
어떤 수의 제곱하였더니 세제곱수가 되었다. 그러면 그 어떤 수는 세제곱수이다.
어떤 수 \(a\)에 대하여, 수 \(b\)가 \(b=a^2\)이라 하고 \(b\)가 세제곱수라 하자. 그러면 \(a\)도 세제곱수이다.
IX 권
명제
어떤 수의 제곱하였더니 세제곱수가 되었다. 그러면 그 어떤 수는 세제곱수이다.
어떤 수 \(a\)에 대하여, 수 \(b\)가 \(b=a^2\)이라 하고 \(b\)가 세제곱수라 하자. 그러면 \(a\)도 세제곱수이다.
어떤 수 \(a\)에 대하여, 수 \(b\)가 \(b=a^2\)이라 하고 \(b\)가 세제곱수라 하자.
그러면 \(a\)도 세제곱수임을 보여야 한다.
수 \(c\)를 \(c=a\cdot b\)라 하자. \(b=a\cdot a\)이고 \(c=a\cdot b\)이므로 \(c\)는 세제곱수이다.
단위수를 \(e\)라 하자. \(b=a\cdot a\)이므로 \(\frac ba=a\)이다. 또한 \(\frac ae=a\)이다. 그러므로 \(e:a=a:b\)이다. [VII권 정의 20]
그리고 \(c=a\cdot b\)이므로 \(\frac ca=a\)이다. 또한 \(\frac ae=a\)이다. 그러므로 \(e:a=b:c\)이다. [VII권 정의 20]
그런데 \(e:a=a:b\)이고 \(e:a=b:c\)이므로 \(a:b=b:c\)이다.
\(b\), \(c\)는 세제곱수이므로 \(b\), \(c\)는 닮은 입체수이다.
그러므로 \(b\), \(c\) 사이에는 두 개의 비례 중항이 존재한다. [VIII권 명제 19]
그런데 \(b:c=a:b\)이므로 \(a\), \(b\) 사이에도 두 개의 비례 중항이 있다. [VIII권 명제 8]
그리고 \(b\)가 세제곱수이다. 그러므로 \(a\)도 세제곱수이다. [VIII권 명제 23]
그러므로 어떤 수의 제곱하였더니 세제곱수가 되었다. 그러면 그 어떤 수는 세제곱수이다.
Q.E.D.
대수적으로 이를 간단히 증명하여 보자.
\(a^2\)이 세제곱수이라 하자. \(a^3\)는 세제곱수이다. 그러면 [VIII권 명제 19]에 의해서 \(a^2\), \(a^3\) 사이에 비례 중항이 두 개 존재한다. 그런데 \(a:a^2=a^2:a^3\)이므로 \(a\), \(a^2\) 사이에도 역시 비례 중항이 두 개 존재한다. [VIII권 명제 8] \(a^2\)이 세제곱수이므로 \(a\)도 세제곱수이다. [VIII권 명제 23]
이 명제는 [IX권 명제 10]에서 사용된다.