IX 권
명제
몇 개의 짝수를 더한 수도 짝수이다.
짝수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm DE}\)에 대하여, 수 \(\overline{\rm AE}\)를 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}+\overline{\rm CD}+\overline{\rm DE}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AE}\)도 짝수이다.
짝수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm DE}\)에 대하여, 수 \(\overline{\rm AE}\)를 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}+\overline{\rm CD}+\overline{\rm DE}\)라 하자.
그러면 \(\overline{\rm AE}\)도 짝수임을 보여야 한다.
수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm DE}\) 각각 모두 짝수이므로 이들 수들을 절반으로 나눌 수 있다. [VII권 정의 6]
그러므로 수 \(\overline{\rm AE}\)도 절반으로 나눌 수 있다. 그런데 짝수란 절반으로 나눌 수 있는 수 이다. [VII권 정의 6]
그러므로 \(\overline{\rm AE}\)도 짝수이다.
그러므로 몇 개의 짝수를 더한 수도 짝수이다.
Q.E.D.
이 명제로 유클리드는 짝수와 홀수의 연구를 시작한다. 연구는 [IX권 명제 34]에서도 이어진다.
이 명제는 다음 두 명제와 [IX권 명제 28]에서 사용된다.